Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

84 Anmerkungen.
etwa DAC wieder nicht grösser als 4- BAC. Indem man
nun die Construction, welche vom Dreieck AB C zum Dreieck
ACE führte, hinreichend oft wiederholt, wirde man zu einem
Dreieck gelangen, bei dem die Summe zweier Winkel grösser
ist als it, und das ist unmöglich. (Diesen Satz und den folgenden hat zuerst Legendre aufgestellt und bewiesen.)
6) Zu S. 7. Um diesen Satz zu beweisen, fälle man in
dem Dreiecke ABC, dessen Winkelsumme gleich re sei, vom
Scheitel des grössten Winkels (B) aus das Lot p auf die
gegenüberliegende Seite (Fig. 22). In
'B den beiden rechtwinkligen Theildreiecken muss dann die Winkelsumme
auch jedesmal r: sein. Hieraus folgt
A c weiter, dass man ein Rechteck mit
den beiden Seitenp und g, weiterhin
Fig. 22. ein Rechteck mit den Seiten np und
mzq construiren kann (durch Aneinanderlegen von Rechtecken mit den Seiten p2 und q), wo,?
und n beliebig grosse ganze Zahlen sind. Zerlegt man dann
ein solches Rechteck durch eine Diagonale in zwei rechtwinklige
Dreiecke, so muss in jedem derselben, weil sie congruent sind,
die Winkelsumme gleich r sein. Um nun zu zeigen, dass in
einem beliebigen rechtwinkligen Dreiecke DBE die Winkelsumme 7t ist (Fig. 23), lege man
c dieses Dreieck in ein grösseres rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten
E AB=mqz>DBundBC==np>BlBE
hinein, und ziehe noch die Gerade CD.
In jedem der drei Dreiecke ACD,
A D B OCDE und EDB kann die WinkelFig. 23. summe nicht grösser als yt; sein,
andererseits ist aber die Summe der
Winkel aller drei Dreiecke zusammen gleich 3 r, weil das
Dreieck ABC die Winkelsumme ir hat; und es mtss also
jedes der Theildreiecke, z. B. auch das Dreieck DBE, die
Winkelsumme Jc haben. Hieraus folgt also, dass zunächst in
jedem rechtwinkligen Dreiecke die Winkelsumme r: ist, und
weiterhin auch in jedem s c hiefwinkl i gen Dreieck, weil jedes
schiefwinklige Dreieck sich aus zwei rechtwinkligen zusammensetzen lässt. (Geom. Unt. ~ 20.)
7) Zu S. 8. Um diesen Satz ohne Anwendung von Grenzbetrachtungen zu beweisen, bedürfen wir zunächst einiger