Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

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sind also die Grundlage der allgemeinsten Geometrie, weil sie
nicht von der Voraussetzung abhängen, dass die Summe der
drei Winkel jedes geradlinigen Dreiecks zwei rechten Winkeln
gleich ist.
~ 9. Gilt in unserm Raume die Pangeometrie?
[Dreiecksmnesszugen.] Die Pangeometrie, welche auf bestimmte Grundlagen gegründet ist, und die in dem Vorausgehenden entwickelt worden ist, giebt, wie man gesehen hat,
Methoden, welche geeignet sind, den Werth verschiedener
geometrischer Grössen zu berechnen, und beweist zu gleicher
Zeit, dass die Annahme, dass der Werth der Summe der drei
Winkel jedes geradlinigen Dreiecks constant ist, eine Annahme,
die ausdrücklich oder versteckt in der gewöhnlichen Geometrie
gemacht wird, keine nothwendige Folge unserer Begriffe vom
Raume ist. Nur die Erfahrung kann die Wahrheit dieser
Annahme bestätigen, z. B. die wirkliche Messung von den drei
Winkeln eines geradlinigen Dreiecks, eine Messung, die auf
sehr verschiedene Art vorgenommen werden kann. Man kann
[679] die drei Winkel eines geradlinigen Dreiecks auf einer
künstlichen Ebene messen, oder die drei Winkel eines geradlinigen Dreiecks im Raume. 39) In diesem letzteren Falle wird
man die Dreiecke bevorzugen müssen, deren Seiten sehr gross
sind, weil nach der Pangeometrie der Unterschied zwischen zwei
rechten Winkeln und der Summe von drei Winkeln eines geradlinigen Dreiecks um so grösser wird, je grösser die Seiten sind.
[Probe durch lKreistheiluntg.] Sei r der Halbmesser eines
Kreises, A ein Winkel im Mittelpunkte, dessen Seiten einen
Bogen umfassen, der von einer Sehne gleich r überspannt wird.
Nennen wir p das vom Mittelpunkte dieses Kreises auf die
Sehne gefällte Lot, welche durch den Fusspunkt des Lotes in
zwei gleiche Theile zerlegt wird. Betrachten wir eines der
beiden rechtwinkligen Dreiecke, die von diesem Lote, den zu
beiden Seiten des Winkels A liegenden Halbmessern und der
Sehne gebildet werden, ein Dreieck, dessen Hypotenuse r und
dessen Katheten - r und p sein werden.
Nach der allgemeinen Gleichung (13) wird man in diesem
Dreieck haben
sin -- A tang ff7( ) = tang n(r),