Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 73
Wenn jeder Zuwachs unendlich klein wird, so wird das
Volumenelement wie in der gewöhnlichen Geometrie ausgedrückt
durch das Product der drei zu einander senkrechten Strecken
dr, dw cos6 cotgR, d 9 cotgR,
weil es als ein Prisma betrachtet werden kann; man wird
also den folgenden Ausdruck des Raumelements in Polarcoordinaten erhalten
dr dco dO- cos9 cotg-2R d3P,
oder, indem man für cotg2R seinen Werth in r einsetzt,
d 3P = drdo d d cos 9(er - - r)2.
Indem man zuerst in Bezug auf r von r = 0 an integrirt,
kommt 35)
d3P d= td dw d cosg#(e'r- e-2r- 4r)
[Kuzgelinhalt.] Für die Kugel, deren Mittelpunkt im Coordinatenanfang ist, hängt r nicht von,9 und co ab. Indem
man in Bezug auf co von co = 0 bis co = 22 und in Bezug
auf, von - =0 bis 1 =- rt integrirt, und indem man das
Resultat verdoppelt, kommt fiir den Rauminhalt der ganzen
Kugel (e -2r- e-"r - 4r) wie weiter oben [Seite 71].
[Grenzkugelsector.] Nehmen wir jetzt einen Theil S der
Oberfläche der Grenzkugel, der eingeschlossen ist durch eine
in sich zurücklaufende Randcurve, ziehen wir durch die verschiedenen Punkte dieser Randeurve Gerade, die zur Axe
parallel sind, so werden diese eine Fläche bilden, die wir
nach Analogie conisch nennen, und die sich unbegrenzt nach
beiden Seiten erstreckt, von der wir aber nur den auf der;Seite des Parallelismus der Axen der Grenzkugel gelegenen
Theil betrachten. Es sei S' der Theil einer zweiten Grenzkugel, deren Axen denen der ersten parallel sind, und im
selben Sinne gerichtet, und zwar soll es der im Innern der
conischen Fläche gelegene Theil sein. S, S' und der Theil
der [677] conischen Fläche, der zwischen den beiden Grenzkugeln gelegen ist, schliessen einen in jeder Beziehung36)
endlichen Rauminhalt ein, den wir zu bestimmen uns vornehmen. Nennen wir c den Theil einer Axe der beiden Grenzkugeln, welcher zwischen ihnen eingeschlossen ist, tragen wir
eine Länge gleich c mehrfach ab auf einer der Axen der
ersten Grenzkugel, welche durch einen Punkt der Randcurve
von S geht, und zwar von dem Punkte an, wo die Axe S'