Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 71
dP _ cotgl T(y)
dx d - sin2I (x) '
und endlich, indem man mit dz multiplicirt und integrirt in
Bezug auf x von x = 0 an
d2P 1
- 2 1- ie +- e2- - 4].
dx d y 8 sin H(y) + e 4z
[IKugelinhalt.] Multiplicirt man den vorletzten dieser Ausdrücke mit dx dz, integrirt zuerst in Bezug auf z von X 0
an bis zu dem Werthe z, der aus der Gleichung
sin 1(r) = sin 7 (x) sinH (z)
[675] entnommen ist, und dann in Bezug auf x von x = 0
bis x = r, und multiplicirt man das Ergebniss mit 8, um den
Rauminhalt der ganzen Kugel zu haben, so wird man den
Rauminhalt der ganzen Kugel = - (e2r — e-"r - 4r) finden,
was für sehr kleines r giebt -4 ir3, wie in der gewöhnlichen
Geometrie.
[Raumnelement in Polarcoordinaten.] Sei, um das Raumelement in Polarcoordinaten auszudrücken [Fig. 19], r der Abstand des Coordinatenanfangs von einem Raumpunkte, dessen
rechtwinklige Coordinaten
x, y, % sind. Nennen wir q z-A4xe
die Gerade, die in der xyEbene vom Coordinatenan- "'
fang zum Fusspunkte von z
gezogen ist, # 34) den Winkel
zwischen r und q, w den ^z.S - _Uze
Winkel zwischen q und der /A
positiven x-Axe.
Setzen wir noch 1H(x)
=x, U(y)= -, 71(), ()
1n(r) =R, I(q)=Q. Ziehen lg.19
wir eine Ebene senkrecht
zur z-Axe, welche durch den gegebenen Punkt geht. Es sei r'
die in dieser Ebene vom gegebenen Punkte nach der z-Axe
gezogene Gerade und wir setzen noch 1H(r') = R'. Construiren
wir endlich eine Kugel vom Radius r, deren Mittelpunkt mit
dem Coordinatenanfang zusammenfällt. Die xy-Ebene wird
diese Kugel in einem grössten Kreise vom Radius r schneiden,