Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

68 N. J. Lobatschefskij.
[672] [Neue Coordinaten.] Setzen wir
cos = tanglj(r) cotg J(y)
cosH (x =) cos H (r) sin t sincp
und fihren wir die neuen Veränderlichen 1J, cp an Stelle von
x, y in den Ausdruck des Elementes der Oberfläche der Kugel
vom Radius r ein, welchen wir kennen gelernt haben.
Wir finden28)
d2S cos HT(r) sin p V 1 - cosH(r) sin" t sin2 cp
di d(p sin H(r) 1 - cosHT(r) sin2 S
Multipliciren wir diese Gleichung mit 8 d p dcp und 29) integriren von - = 0 an bis ip 7, dann von p 0 bis
cp =- -, was uns die Oberfläche der ganzen Kugel geben
wird. Indem man diesen Ausdruck für die Oberfläche der
ganzen Kugel dem Ausdrucke derselben Oberfläche, den wir
weiter oben [Seite 67] gefunden haben, gleichsetzen, schliessen
wir, dass 30)
IJZ~. f'~ psin Ip V l - cos'H (r) sin2 p sinrp
(30) d t, d
2) sinl1( r) 0 J 1 - coslI7(r) sin2 tp
Wenn wir mit E(a) das elliptische Integral bezeichnen
E(cl) = d(p l1 - c2 sin2 (p,
wo a die Constante ist, die sich unter dem Integralzeichen
befindet, so haben wir31)
_ pc xdx E(x)
2 sinll(r) Jo (J _ - ) 1/a - x2
Indem man im Integral (30) -:- R an Stelle von H7(r)
setzt, kommt
2. o " V1 - sin2 s- sin cp sin R
Führen wir die Integration in Bezug auf tp innerhalb der
angegebenen Grenzen aus, so finden wir
= 2 dcpZ log (1 + sincp sin R
CR=- - log si -n
sin sp) 1 - sin P sinR'