Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 67
[Kugeloberfiläche.] Wenden wir diesen Ausdruck auf eine
Kugel vom Radius r an. Wenn der Coordinatenanfang im
Mittelpunkte der Kugel ist, so wird die Gleichung der Kugel
geben:
id \_ coslH(x)
dx) cos l(x)
i dx\ cosTH(y)
\dyl cos 7(X)
und folglich
cos H(r) sinl(y) sin2Jl(x) d2 S
sin2lH(2) Vsin2H(x) sin2H(y) - sin2H(r) d-l(x) dyll(y)
Multipliciren wir mit dlI(y) und integriren wir von sinH (y)
sin 1(r)
_sin (r) bis H1(y) = -— i7, so wird kommen:
sinH T(x)
dS 2 * cosl7(r)
d (x) — 2 f7 sin H (x) sinH ()
d n (x), sin2 77 (r-)
Multipliciren wir noch mit dJI(x) und integriren bis
lI(x) ===-1r so werden wir haben:
2 ft cos 1 (r) cos 1 (x)
S = sin'T (r) 7
was die Fläche des Kugelabschnittes zwischen zwei Ebenen
senkrecht zu einem und demselben Radius ist, von denen die
eine durch den Mittelpunkt der Kugel geht und die andere die
die Entfernung x vom Mittelpunkte hat. Um die Oberfläche der
ganzen Kugel zu erhalten, muss man in dieser Formel x = r
setzen und das Resultat verdoppeln. Auf diese Weise erhält
man für den Inhalt der Fläche der ganzen Kugel den Ausdruck
4 7r cotg2 1 (r)
oder
(er e-r);
wenn r so klein ist, dass man die höheren Potenzen von r
vernachlässigen kann, reducirt sich dieser Ausdruck auf
4 7rr2
wie in der gewöhnlichen Geometrie.
5*