Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

66 N. J. Lobatschefskij.
dieser Axe enthalten. Indem man dx, dy unendlich klein
annimmt, werden wir in Folge der Gleichung (28) haben
dx
sin H (y)
Der Abstand der beiden ersten Punkte, genommen auf der
gekrümmten Oberfläche, bildet ein Dreieck mit den Geraden,
deren Längen sind:26)
dx Ida\
sinJl(y) sin Ij(z) ' dx.
Wir können dieses Dreieck wegen der Kleinheit seiner Seiten
als ein Dreieck betrachten, dessen Hypotenuse der Abstand
zwischen den beiden ersten Punkten, genommen auf der Oberfläche ist. Wir werden also als Quadrat des Abstandes haben
dx' 21 _+ + d
d sin/(y) sin /(Z) + dx
Auf dieselbe Weise finden wir für das Quadrat des Abstandes
des ersten Punktes vom dritten
y sinH(z) idy!
und für den Abstand des zweiten Punktes vom dritten
dx, dy2 j)ld" ^, Id\ ddx
sini+(y) sin+//(Z) sin"t l ) dy \dx
Die Fläche des Dreiecks, dessen Seiten die Abstände des
ersten Punktes genommen auf der Oberfläche vom zweiten,
des zweiten vom dritten und des dritten vom ersten sind,
und dessen Winkelsumme merklich gleich fc sein wird wegen
[671] der Kleinheit der Seiten, wird in Folge der weiter oben
[Seite 65] bewiesenen Formel und der Werthe, die wir für die
Quadrate der Seiten gefunden haben, sein27)
d2 S 1 Z {f1 öd
dx dy 2 sinlH(Z) dl 12 ll
d/xdy —2sin/~ (z d 2sin(y) dy indx(y) sinI(y) dy s in2u(z)7
welches das Flächenelement für die gekrümmte Oberfläche ist,
deren Gleichung lautet
% ( — f-( x,y).