Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

60 N. J. Lobatschefskij.
Auf dieselbe Weise hat man
211(c) = I(a - a') - Jn(a + a')
woraus wir durch die oben angegebene Buchstabenvertauschung
erhalten
21(ß) == 1('- a')- TI(b'+ a').
Auf dieselbe Weise hat man
2 lT(a) = t([a' — 7) -- (a'+ b');
[665] indem wir die beiden letzten Gleichungen hinzufügen.
finden wir
2 1(a) + 2 1(,ß) = - 2J(c'+ b'),
danach ist der Flächeninhalt des Dreiecks J durch den folgenden Ausdruck gegeben:
J = 2 - U (a) - H({ß) = 7(al' + ')
und folglich
tang- =J e-a e -bl tang({ it - r I (a)) tang(1{r - -- (b);,
woraus wir endlich entnehmen
ea~ I eb-1
tang^ —= + +
Wenn a und b sehr klein sind, so dass man die höheren
Potenzen von q, 1 und J vernachlässigen kann, so giebt diese
Formel
J 'ab
wie in der gewöhnlichen Geometrie. [Anwendung auf das
schiefwtinklige Dreieck.] Man weiss, dass man immer in jedem
beliebigen geradlinigen Dreieck die Seite c so wählen kann,
dass das vom Scheitel des gegenüberliegenden Winkels C auf
die Richtung dieser Geraden gefällte Lot auf' c selbst fällt
und nicht auf ihre Verlängerung; dieses Lot theilt die Seite c
in zwei Theile, von denen der eine x dem Winkel A anliegt,
der andere c x dem Winkel B. Der Flächeninhalt S dieses
Dreiecks wird gleich sein der Summe der Flächen der beiden
rechtwinkligen Dreiecke, die durch dieses Lot h gebildet
werden, und wird durch die Gleichung gegeben sein