Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 59
In diesem Falle wird die Gerade p, welche die Mitte von c
mit der Mitte von x verbindet, zu c und zu x senkrecht sein.
Wir können also in (28) c durch -.-c und x durch ~x ersetzen,
was die Form dieser Gleichung nicht ändert. Sie ist so bewiesen auch für den Fall a = y, ein Fall, auf den der oben
gegebene Beweis nicht unmittelbar anwendbar ist.
[664] Die Flächeninhalte der gekrimmten Oberflächen haben
als Maass die Summe der Dreiecksflächen, welche ein stetiges
Netz bilden, dessen Ecken alle auf der Oberfläche gelegen
sind. Dieses Maass wird um so genauer sein, je kleiner die
Abmessungen dieser Dreiecke sein werden.23)
Die Grenze, der diese Summe sich unbegrenzt nähert, wenn
die Abmessungen der Dreiecke unbegrenzt abnehmen und von
der sie.sich unterscheiden kann um eine Grösse, die kleiner
ist als jede gegebene Grösse, wird der mathematische Werth
des Flächeninhalts der Oberfläche genannt. Bestimmen wir
zuerst den Flächeninhalt eines geradlinigen rechtwinkligen
Dreiecks als Function der Seiten, die wir mit a, b, c bezeichnen werden, und nennen wir H(Ca), IH(ß), -1r die entsprechend gegeniiberliegenden Winkel.
[Inhalt des geradlinigen rechtwinkligen Dreiecks, ausgedrückt
durch die Seiten.] Wir haben [Seite 17] gesehen, cass man
in einem solchen Dreieck für
aC, b, c,,,
die Strecken
a, Ca', ß, b', c
entsprechend setzen kann.
Ausserdem haben wir [Seite 23] gefunden, dass
21n(b) = n(c + ) + H(c - i);
setzen wir in dieser Gleichung a' für b, ß für c, und c für t,
so kommt
r - 21(a) = 1( + c) + n(/ - c)
oder
2 )Auf dieselbe Weise finden wi
Auf dieselbe Weise finden wir
2II(P ) == r(c - a) - II(c + cC)
Vertauscht man in dieser Gleichung die Buchstaben, wie es
weiter oben gesagt worden ist, so wird man erhalten
2n1(c) = n(ß - b') - H + b ').