Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

58 IN. J. Lobatschefskij.
[663] [Das Viereck zxwischen zwei Loten auf der xy-Ebeie.]
Es bleibt, um die neue geometrische, als Pangeometrie bezeichnete Lehre zu ergänzen, welche auf neuen allgemeineren
Grundlagen als die gewöhnliche Geometrie beruht, nur noch
übrig, die Differentiale der Fläche einer krummen Oberfläche
und des Rauminhalts eines beliebigen Körpers zu geben, ausgedrickt mit Hülfe der Coordinaten, welche die Lage eines
Punktes im Raume bestimmen.
Betrachten wir zu diesem Zwecke von Neuem das Viereck,
dessen Seiten q, y senkrecht stehen auf der dritten x und
dessen vierte Seite c senkrecht auf y steht und mit a den
Winkel cp bildet. [Vgl. Fig. 12, Seite 38.]
Wir haben gefunden (Gleichung 25)
coslI(y) = cosll(a) sinll(x)
Hieraus finden wir mit Hülfe der Gleichungen (10), (11),
indem wir r die Diagonale nennen, die vom Scheitel des
Winkels cp zum Scheitel des gegenüberliegenden rechten Winkels
gezogen ist, und A den Winkel zwischen x und r
cosH7(r) cosA = cosZ H(x)
cosA tang 1(c) = tang-Z7(r).
Aus diesen beiden Gleichungen entnehmen wir
cosll(x) tangllj(e) - sinHl((r).
Aber
sin1(r) = sinHJ(a) sin l(x)
und folglich
tang (e) = sin H (a) tang H(x).
Wenn c und x so klein sind, dass man die höheren Potenzen gegen die niederen vernachlässigen und als angenäherte Werthe von tang Hl(c), tangll(x) die folgenden nehmen
kann
1 1
tangnll(c) -; tang H(x) -
c x
so findet man
(28) x
(28) sc in 1-(a)
Die Gerade c, welche die Enden von a und y verbindet,
wird nicht senkrecht zu y sein, wenn a = y in dem Viereck.