Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

50 N. J. Lobatschefskij.
[IKreisinhtalt.] Um die Fläche des Kreises vom Radius r
zu berechnen, muss man in den allgemeinen Ausdruck des
Flächenelements einer Curve, der oben gefunden ist [vgl. Annzerkumy 18] und so lautete:
dS == dx cot H(y),
den Werth von cotgll(y) einsetzen, welcher aus der Gleichung
des Kreises entnommen ist,
sin H(x) sinlI(y) = sinHl (),
wo der Coordinatenanfang im Mittelpunkte des Kreises ist,
das giebt
dS= d 1/sin (x) ( 1
sin" 1-(r)
integriren wir von x= 0 an, so finden wir
1 r sin cos (x) I)\ - r /cotgll(x)\
s=i n- (r) cos 7 (r1) / cotg 7 (1-)
Füir x = giebt dies als Fläche des Kreisquadranten
2 sin 1l () 2
multipliciren wir mit 4, so finden wir für die Fläche des
Kreises, 1
2 sini() - z(e -~ e )
Wenn r ausserordentlich klein ist, dann giebt dieser Ausdruck
die Fläche des Kreises -= rr2", was derselbe Ausdruck ist,
den die gewöhnliche Geometrie für den Flächeninhalt des
Kreises giebt.
Der vorausgehende Ausdruck für die Fläche des Kreises
erlaubt uns, dem Flächenelemente jeder gekrümmten Linie die
folgende Form zu geben:
I I
ldS- d<p I, (in 17( r)
wo r der vom Coordinatenanfang zu einem Punkte der Curve
gezogene Leitstrahl ist und cp der Winkel, den dieser Leitstrahl mit einer festen Geraden bildet, die durch den Coordinatenanfang geht.