Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 49
wo A eine gegebene Function von x ist; um den Werth dieses
Integrals zu berechnen, muss man A = cotgHl(y) setzen und
die Werthe y', y", y' u. s. w. bestimmen, die den Werthen
x', x", x"' u. s. w. entsprechen, welche willkürlich als Integrationsgrenzen genommen sind; dann muss man die Längen
der Sehnen berechnen, die die Endpunkte von y' und y", von
y" und y"' u.. w..verbinden, und die Winkel, welche jede Sehne
mit der Verlängerung der folgenden Sehne bildet. Die Summe
dieser Winkel wird den angenäherten Werth des Integrals geben.
[Fläcizenelevment in Pcarcllelcoordclntten acesgedrickt.] Der
Flächeninhalt des Theiles der Ebene, der zwischen einer gegebenen Geraden und zwei unter einander parallelen Geraden
enthalten ist, die durch die beiden Enden der gegebenen Linie
gezogen sind und nach der Seite des Parallelismus unbegrenzt
verlängert sind, wird gleich 7r sein, vermindert um die Summe
der zwei Winkel, welche die beiden Parallelen mit der gegebenen Geraden bilden, weil die Figur als ein Dreieck mit
einem Winkel Null betrachtet werden kann.
Die Fläche einer ebenen Curve kann in Elemente getheilt
werden durch Gerade, die alle einer gegebenen Geraden, z. B.
der y-Axe, parallel sind. Ziehen wir [Fig. 15]
durch das Ende der Abscisse x eine Gerade, Y e
die parallel ist zur y-Axe, so wird diese
Gerade mit der x-Axe einen Winkel = H(x)
bilden, die durch das Ende der Abscisse
x +- clx gezogene Gerade wird ebenso mit
der x-Axe einen Winkel gleich 11 (x + dx)
bilden, woraus folgt, dass die Fläche des
Theiles der Ebene, der zwischen dx und x-Axe
diesen beiden Parallelen enthalten ist, gleich
dHl(x) sein wird. Sei jetzt u die Länge Fig. 15.
des Theiles der ersten Parallelen, welcher
zwischen dere x-Axe ulnd der Curve enthalten ist, so wird der
zwischen den beiden Parallelen und ausserhalb der gegebenen
Curve gelegene Flächentheil nach dem, was weiter oben [Seite11,und Seite 46] bewiesen worden ist, gleich
- e-u dll(x),
[6561 woraus folgt, dass der Theil dieser Fläche, der zwischen
der Curve und der x-Axe gelegen ist, das heisst das Flächenelement dieser Curve, den Ausdruck besitzt:
dS = - (1 - e-t1) dll(x).
Ostwald's Ilassiker. 130. 4