Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

46 N. J. Lobatschefskij.
Integrirt man diesen Ausdruck von y == 0 an, so finden
wir für die Fläche, die zwischen dem Bogen des Grenzkreises,
der ex-Axe und der Ordinate y enthalten ist
= ( {cotg7(y) - 7t + n(y)}.
e "- 1L
Wir haben gesehen, dass der Theil einer Ebene, der
zwischen zwei unbegrenzt verlängerten Parallelen nach der
Seite des Parallelismus hin enthalten ist und begrenzt wird
von einem Bogen s eines Grenzkreises, dem die beiden Parallelen als Axen dienen, zum Ausdruck hat
es e cotg H (y)
e — e —1
[Parallelstreifen.] Danach finden wir für die Fläche, die
zwischen zwei parallelen Geraden enthalten ist (in denen die
eine senkrecht zu y ist), die durch die beiden Enden von y
gezogen sind [653] und nach der Seite des Parallelismus nnbegrenzt verlängert sind, die Formel
^c-l((y).
Mit Hlülfe dieser Formel können wir den Inhalt eines rechtwinkligen Dreiecks als Function der Winkel dieses Dreiecks
bestimmen. Seien dazu die Seiten des Dreiecks a, b, c und
die gegenüberliegenden Winkel A = — (a), B -= II(fj), ~;r;
verlängern wir [vgl. Fig. 8, Seite 22] die Hypotenuse c über den
Scheitel des Winkels H(fi) hinaus und machen wir die Verlängerung gleich f. Das auf f im Ende von ß3 errichtete Lot
wird parallel sein zur Verlängerung der Seite a, und der Inhalt
des Theiles der Ebene, welcher zwischen diesen beiden nach
der Seite des Parallelismus hin unbegrenzt verlängerten Parallelen enthalten ist, und auf der andern Seite durch die
Linie f( begrenzt wird, hat den Werth
[Dreiecksinhalt.] Ziehen wir jetzt durch den Scheitel des
Winkels A eine Parallele zum Lot, die folglich gegen c unter
dem Winkel II(c + ßi) geneigt ist und auch parallel sein wird
zur Verlängerung von a, so wird der Werth des Theiles der
Ebene zwischen e + (3 und den beiden nach der Seite des
Parallelismus hin ins Unendliche verlängerten Parallelen sein
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