Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 45
betrachtet, wo das Lot, y, welches von dem einen Ende des
Bogens s auf die Axe des Grenzkreises gefällt ist, die als x-Axe
dient und durch das andere Ende geht, sein Halbmesser ist,
in der Pangeometrie gegeben durch die Formel
2 7rcot H (y),
woraus folgt, dass
s =- cotJH(y),
[652] wie es zuvor [Seite 35] bewiesen worden ist.
~ 6. Flächenmessungen.
[Flächenelement.] Um das Flächenelement zu finden, theilen
wir die Ebene durch Grenzkreise, die alle zur Axe die x-Axe
haben, so dass der Abstand jedes Grenzkreises von dem folgenden unendlich klein ist und durch dx ausgedrückt werden
kann. Es sei s der Bogen eines dieser Grenzkreise zwischen
der x-Axe und einem Punkte einer gegebenen Curve, dessen
Coordinaten x, y seien. Sei noch s' der Bogen eines andern
dieser Grenzkreise zwischen der x-Axe und einem Punkte
der gegebenen Curve, bestimmt durch die Coordinaten x + dx,
y + dy.
Der unendlich kleine Theil der Ebene zwischen s und s'
einerseits und zwischen der Curve und der x-Axe andrerseits
hat [vgl. Seite 12] zum Ausdruck
e.s dx
dS=
e- 1
oder, indem man einsetzt s = cotg 1(y)
d S-~e dx cotglH(y)
e -1
[Grenzkreissector'.] Als Beispiel bestimmen wir die Fläche
eines Grenzkreises, für den wir die Gleichung in rechtwinkligen
Coordinaten gefunden haben [vgl. Seite 33]
sin H(y) =- emit deren Hülfe wir den folgenden Ausdruck fiür das Differential der gesuchten Fläche finden
dS = -- dy cosiH(y) cotgl(y).