Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

44 N. J. Lobatschefskij.
Um dx in r und c auszudrücken, nehmen wir (Gleichung 10)
cos H(r) cos p = cosf(x).
[651] [Bogenelement in Polarcoordinaten.] Die Differentiation
in Bezug auf r, cp und x der Logarithmen der beiden Seiten
dieser Gleichung liefert
sin' 1 (r) s int TH (x)
cosll(r)d - tag cos l (x d x
cos-H HX(X)
woraus wir mit Hülfe der Gleichungen
sin 1T(x) sin H(y) = sin 1(r)
cos H (r) cos = cos l(x),
die folgende Gleichung entnehmen, die den gesuchten Werth
ausdrückt
dx coscp sin H(r) dr - dcp sinc cotgH(r)
sinlH(y) 1/1 - cos2 r cos"H(r)
wonach
ds = Idr + dcp2 cotg2 1(r).
[Kreis~nmfang.] Wir finden für den Kreis, indem wir
annehmen, dass der Coordinatenanfang im Mittelpunkte ist
(da d = 0)
ds = d p cotgl7(r);
indem man integrirt von cp =- 0 bis cp = v und das Resultat
mit 4 multiplicirt, finden wir den folgenden Ausdruck für den
Umfang des Kreises vom Radius r.
2 rf cotgl(r),
welches mit dem zusammenfällt, den wir weiter oben [Seite 34]
gefunden haben.
[Kreismessung auf der Grenzkugel.] Nennen wir s den
Bogen eines Grenzkreises, der von der x-Axe an gerechnet
ist, so wird die Drehung von s um die x-Axe einen Theil der
Grenzkugel erzeugen, und das Ende dieses Bogens wird einen
Kreisumfang beschreiben, der auf der Grenzkugel in derselben
Weise bestimmt wird, wie der Kreis vom Radius r in der gewöhnlichen Geometrie bestimmt wird, woraus folgt, dass der
Umfang gleich 2 s sein muss. Auf der andern Seite wird
der Umfang desselben Kreises, wenn man ihn in seiner Ebene