Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 43
[650] Für den Grenzkreis hat man
sin l(y) - e-".
[Grenzkreisbogen.] Aus den allgemeinen Ausdrücken, die
sin/ (a) u. s. w. als Funetion von a ausdricken, und die weiter
oben [Seite 24] gegeben worden sind, entnimmt man
d l(a) = - sinlH(a) da,
woraus man durch Differentiation der Gleichung des Grenzkreises findet
sinll(y) cosl7l(y) dy = e-" dx
und
dx ex
ds = - -;
V1 — e-2x
indem man integrirt in Bezug auf x von x = 0 an, findet man
S - V e2x- 1
oder anders
s = cotg 1(y)
wie wir es weiter oben iSeite 35, Gleichzng 22] gefunden haben.
[Polarcoordinaten.] Bezeichnen wir mit r den Abstand eines
Punktes einer gekrümmten Linie vom Coordinatenanfang und
mit cp den Winkel, den dieser Abstand r mit der positiven
x-Axe bildet, so werden wir in dem Dreieck, dessen Seiten
y, x, r sind, nach Gleichung (12) haben
tang HT(r) = sin cp tang 1 (ly).
Nimmt man die Logarithmen der beiden Seiten dieser Gleichung und differenzirt in Bezug auf y, cp, r, so kommt
dr ___dy
- - cotg rp d C +cos f(r) cotg d cos H(y)
Aus dieser Gleichung entnehmen wir
dy = cotgcp d(p + cosi/ cos l(y)
oder, indem wir an Stelle von cos H(y) seinen Werth in r und (p
einsetzen
y cos cp cos (r) dp +- sin r dr
/1 - cos2 ( cos2 (r)