Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

42 N. J. Lobatschefskij.
~ 5. Abstandsmessungen.
[Abstand von zwei Punkten.] Mit Hülfe des Vorangehenden
können wir die Aufgabe lösen, den Abstand von zwei Punkten
zu finden, deren Lage in der Ebene durch ihre rechtwinkligen
Coordinaten x, y und x', y' bestimmt ist. Setzen wir zur
Abkürzung
x = x'-x, Zy y'- y.
Fällen wir [Fig. 13] ein Lot vom Ende von y auf y', und
bezeichnen wir die Länge dieses Lotes mit q, während y,
den Theil von y' zwischen der x-Axe
y:~4ae und dem Lote q bezeichnet.,,y In Folge der Gleichungen (25) wer_y ~Y den wir haben
cosH I(y,)= cosll(y) sinH(Jdx)
L J/ cosl1(dx) = cos l(q) sinHI(y). 7)
~x-A~Q Nachdem man die Werthe von y und
Fig. 13. q mit Hülfe dieser Gleichungen bestimmt
hat, wird der gesuchte Abstand der beiden Punkte, den wir mit r bezeichnen, durch die folgende
Gleichung gegeben sein, die man aus der Gleichung (11) entnimmt
sinHj(r) == sin 7(y'- y,) sinH(q).
[Bogenelement.] Wenn dx und dy und folglich q, r sehr
klein sind, so dass man die höheren Potenzen dieser Grössen
gegen die niederen vernachlässigen kann, so wird r das Linienelement ds einer Curve darstellen, zu dessen Ausdruck man
gelangt, indem man nimmt
sin l(q) = 1 - qg2
cosll(q) = q — q3
sin I(r) = - r
sinll(y'- y,) == - (y'- y),
wonach kommt:ix
sin 11(y)
ds V +sindy dx2
ds Vd y_ sin, l/(y)