Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 41
ist als der Parallelwinkel, welcher diesem Lote entspricht.
Mit Hülfe der vorausgehenden Resultate ist es möglich, die
allgemeine Gleichung (23) der geraden Linie sehr zu vereinfachen in dem Falle, wo die Gerade, zu der die Gleichung
gehört, die x-Axe nicht schneidet.
[Neue Forin der Gleiczhung der Geraden.] Es sei a das auf
die x-Axe von einem festen, aber willkürlich auf der gegebenen
Geraden angenommenen Punkte aus gefällte Lot, L derjenige
der beiden Winkel zwischen diesem Lot und der Geraden,
welcher nach der Seite der positiven x gelegen ist. Suchen
wir zuerst eine Strecke 1, so dass
cos (1) - tangHT(a) cotgL,
was immer möglich ist, so lange als L > H7(a), d. h. so lange
die Gerade die x-Axe nicht schneidet. Tragen wir diese
Linie auf der x-Axe vom Coordinatenanfang aus nach der
Seite der positiven oder negativen x ab, je nach dem Zeichen
von 1. Errichten wir im Ende der Strecke l ein Lot auf der
x-Axe, verlängern wir es, bis es die gegebene Linie trifft, und
sei b der Theil dieses Lotes, der zwischen der gegebenen Geraden und der x-Axe liegt. Der Winkel, unter dem dieses
Lot die gegebene Gerade treffen wird, muss ein rechter sein,
nach Gleichung (26). Kommen wir jetzt überein, den Fusspunkt des Lotes b zum Coordinatenanfang zu nehmen, so
werden wir nach Gleichung (25) haben
(27) cosaIL(b) cosJl(y) sinl4(x),
was die allgemeine Gleichung einer Geraden ist, die die x-Axe
nicht schneidet. Wir können in dieser Gleichung y a und
zu gleicher Zeit x - setzen, was giebt
cos I (b) = cos 1 (a) sin (l);
[649] diese Gleichung nimmt, wenn man an Stelle von cos 11(b),
sin l(l) ihre Werthe einsetzt, die folgende Form an
cos H(y) sin l(x) = cos II(a) V 1 -tang21(a) cotgL.
Das zweite Glied dieser Gleichung wird imaginär, sowie
tang j(a) cotgL >,
d. h. für jede Gerade, welche die x -Axe schneidet.