Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

40 XN. J. Lobatschefskij.
Ersetzt man endlich in dieser letzten Gleichung cos/1(y)
durch seinen weiter oben [Gleichung 25] gefundenen Werth, so
kommt
tang X = cos -(x) tang ll(a).
Die Zusammenstellung der zweiten der Gleichungen (H) mit
der ersten der Gleichungen (L) giebt noch
tang(p -- X) tang H(y) tang H1(r)
tang ~p - X)
sinHl(y) cosA
oder
ta( X) cos 1H(y) tang H(r)
tang( -_ ) - X)
cos A
und wenn wir den durch die zweite der Gleichungen (K) gegebenen Werth von tang 1T(r) einsetzen
tang((p - X) = tangA tang H(a) cos I(y).
Diese Gleichung nimmt, wenn man darin an Stelle von
tang A, tangX ihre weiter oben gefundenen Werthe einsetzt,
die folgende Form an:
tang H17 (a)
(26) tang(p = - ()
cos 1(x)
Diese Gleichung zeigt, dass x immer reell ist, wenn der Winkel ~
grösser ist als 11(a) und kleiner als ein rechter, oder wenn
tf - cp > H (a), nt:- c(p < ~' -r.
[648] Der Werth von cos H(x) ist positiv, wenn ~:c > p
> H(a) und die Strecke x ist folglich auch positiv; wenn aber
-c > t- c > H (a), so wird der Werth von cos (x)
negativ, und die Linie x ist auf der andern Seite des Lotes a
gelegen.
[Das gemeinsame Lot von zwei Geraden.] Dies beweist,
dass, wenn zwei Gerade, die in derselben Ebene gelegen sind,
einander nicht treffen, soweit man sie auch verlängert (ohne
parallel zu sein), alle beide zu einer und derselben Geraden
senkrecht sein müssen; 16) alle Paare von Geraden, die in derselben Ebene sind, und weder parallel noch senkrecht zu einer
und derselben Geraden, müssen sich nothwendig schneiden.
Die Geraden, die in derselben Ebene gelegen sich nothwendig
schneiden nach hinreichender Verlängerung, werden also nur
diejenigen sein, für welche in jedem Punkte der Winkel, den
die durch diesen Punkt gehende Gerade mit dem von diesem
Punkte auf die andere Gerade gefällten Lote bildet, kleiner