Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

36 N. J. Lobatschefskij.
[Gleichutng der Geraden.] Die Gleichung der geraden Linie
hat eine ziemlich umständliche Form, wenn man will, dass sie
allgemein ist und die gerade Linie darstellt, welches auch
ihre Lage in Bezug auf das Coordinatensystem sein mag.
Fällen wir [Fig. 11] von einem festen
7L, Punkte der gegebenen Geraden ein
1c öLot a auf die x-Axe und nennen wir
a, Du P y L den Winkel, den dieses Lot mit der
X/ ^ Geraden bildet. Nennen wir noch y
das Lot, welches auf die x-Axe gefällt
X ist von einem anderen Punkte der geFig. 11. gebenen Geraden, dessen [644] Abstand
vom ersten Punkte 1 ist; sei endlich x
der zwischen den beiden Loten gelegene Theil der x-Axe.
Ziehen wir eine gerade Linie durch das Ende von a und den
Fusspunkt von y und sei r die Länge des Theiles der Geraden, welche zwischen diesen beiden Punkten liegt. Es werden zwei Dreiecke entstehen, ein rechtwinkliges, mit den Seiten
a, x, r und den gegenüberliegenden Winkeln, A, X, -eT, das
andere mit den Seiten y, r, 1 und den gegenüiberliegenden
Winkeln L - X, C, — A.
Die Anwendung der Gleichungen (10), (11) auf das erste
dieser Dreiecke giebt:
sinH l(x) siniH(a) = sin H1(r)
sinHl(x) cosX = sin A
sin i(a) cos., sin X
cos 1(r) cos = cos H (x)
cos H (r) cos X = I(a).
Aus diesen Gleichungen entnehmen wir:
tang A tang H(x) cos H(a).
tang7 (r) = tang H(x) sin l(a) cos A
tangX = tang l(a) cos l(x)
cos11(x) = cos17(r)-cosA
sinX = sin. (a) cosA.
Die Anwendung der letzten der Gleichungen (19) auf das zweite
Dreieck liefert: