Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

34 N. J. Lobatschefskij.
Umfanges eines Kreises vom Halbmesser r. Ziehen wir zwei
Halbmesser, deren Winkel im Mittelpunkte 27: n ist, wo n
eine ganze Zahl bezeichnet. Fällen wir vom Ende eines dieser
Halbmesser ein Lot p auf den andern. Das Prodluct p wird
sich um so weniger von der Länge des Kreisumfanges unterscheiden, je grösser n ist. Das rechtwinklige Dreieck, von
dem p eine Kathete, r die Hypotenuse und 2 zr: n der p gegenüberliegende Winkel ist, giebt (Gleichung 13)
2 Jt
sin - = tang 11-(p) tangl (r).
[642] Aber es ist bekannt, dass
lim {nlim- = 2 t
n
für' n -= oo, während
1 2
tang (p) = n(e -e-P)
und
n(eP - e-P) = 2pn
mit um so grösserer Annäherung, je grösser n und je kleiner
folglich p ist. Danach14)
Kreisumfang (r) = np - = 2 zC cotgll(r),
das heisst
Kreisumfang (r) = (er - e-r) n,
was für sehr kleines r giebt
Kreisumfang (r) = 2 rr,
wie in der gewöhnlichen Geometrie.
[Grenzkreisbogen.] Bestimmen wir noch den Bogen s des
Grenzkreises mit Hülfe der Coordinaten: y das von einem Ende
des Bogens s auf die durch das andere Ende gezogene Axe
gefällte Lot: x der Theil dieser Axe vom Scheitel des Bogens
bis zum Fusse des Lotes genommen. Es sei c die Sehne des
Bogens s, es seien ebenso,c c3... die Sehnen der Bogen
-2 s 22 s, 23 s. *. Wir haben weiter oben bewiesen (Gleichung 21), dass
cotg Hl(y) = 2 cotg H ( c).