Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 31
Von diesen Gleichungen an wird die Pangeometrie eine analytische Geometrie und bildet auf diese Art eine vollständige
und deutliche geometrische Theorie. [639] Die Gleichungen (19)
dienen dazu, die krummen Linien durch Gleichungen zwischen
den Coordinaten ihrer Punkte darzustellen, die Länge und den
Flächeninhalt von Curven, die Oberfläche und den Rauminhalt
von Körpern zu berechnen, wie ich es gezeigt habe in den
wissenschaftlichen Abhandlungen der Universität Kasan für das
Jahr 1829.12)
[Das unendcllich kleine Dreieck.] Es ist oben bemerkt worden,
dass die Pangeometrie die gewöhnliche Geometrie giebt, wenn
wir die Linien unendlich klein voraussetzen. Wir können jetzt
diese Behauptung bestätigen.
Für jede unendlich kleine Strecke x können wir die folgenden Näherungswerthe annehmen:
cotang 1T(x) = x
sin ll (x) 1 - x'
cosli(x) - x.
Betrachten wir die Seiten des Dreiecks als unendlich kleine
Grössen erster Ordnung und vernachlässigen wir unendlich kleine
Grössen von höherer Ordnung als der zweiten, dann werden
die Gleichungen (19) nach Einsetzung der angenäherten Werthe
von sinH 1(a), sinH(b) u. s. w. folgende Form annehmen:
b sinA = a sinB
a2 - b2 + 2 - 2bc cosA
cosA + cos (B + C) = O
a sin(A -+ C) = b sinA.
Die beiden ersten Gleichungen sind die bekannten Gleichungen
der gewöhnlichen Trigonometrie. Die beiden letzten geben
A -- B +- C =.
~ 4. Analytische Geometrie der Ebene.
[Gleichtzngl des Kreises.] Nennen wir, um ein Beispiel der
Darstellung der krummen Linien durch Gleichungen zwischen
den Coordinaten ihrer Punkte zu geben, y die Länge des
Lotes, das von einem Punkte des Umfanges des Kreises vom