Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

28 N. J. Lobatschefskij.
Die Gleichungen (13), (14) sind so bewiesen für jedes
geradlinige Dreieck.
Die Gleichung (14) giebt durch eine Vertauschung der
Buchstaben
1 - cosJll(c) cosll (a) cosB -= sin- (c) sin (a)
sin11(b)
Multipliciren wir diese Gleichung gliedweise mit Gleichung (14),
so finden wir
1 - coslo(c) cos1(ct) cosB - cos l(b) cosni(c) cosA
+ cos T(a) cos11(b) cos2 T(c) cosA4 cosB = sin2 l-(c)
oder
cos2 I(c) - cosl7(c) cosljt(a) cosB - cos7 l(b) cosJIi(c) cos A
+ cosn1(c) cos (b) cos- H(c) cos A cosB = 0.
Unterdrticken wir in dieser Gleichung den gemeinsamen Factor
cosj7(c), so haben wir
cosi7(c) + cos11(a) cos11(b) cos"1(c) cosA cosB
- coslI(a) cosB - cos 7 (b) cos - = 0.
Auf dieselbe Weise finden wir
cos T(ac) - cos I1(a) cos j(b) cos H(c) cos B cos C
- cos (b) cos - cosH(c) cos B - 0.
Multipliciren wir diese Gleichung mit cos A und ziehen wir
das Product ab vom Produet der vorigen Gleichung mit cos C,
so werden wir haben:
cos 7(a) [cosA + cosB cosC = co H(c) [cos C + cosA cosi.
Erheben wir die beiden Glieler dieser Gleichung ins Quadrat
und dividiren wir danach mit cos"2 H(c), so nimmt sie die
folgende Form an
cos /11 (a)
oos i(c [cosA + cosB cos C0I = [cos C cosAn cosB)2.
e (cos ) 1 s in2 L
[637J Aber die Gleichung (13) giebt
cos [ö) sm2^ v /