Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeomietrie. 27
Die Gleichungen (13) und (14) bestätigen sich von selbst,
wenn A =- — 7 oder das Lot j) zusammenfällt mit der Seite b,
denn in diesem Falle wird die Gleichung (13) auf die Gleichung (12) zurückgeführt ulnd die Gleichung (14) auf die
Gleichung (11), Gleichungen, die für alle geradlinigen rechtwinkligen Dreiecke bewiesen worden sind. Wenn das Lot p
ausserhalb des Dreiecks auf die Verlängerung von c fällt, und
zur Strecke c eine Strecke x hinzugefügt und ein Winkel D
zum Winkel C, so bilden sich zwei rechtwinklige Dreiecke, von
denen das eine die Seiten 2, x, b und die gegenüberliegenden
Winkel (r - A), D, - —, das andere die Seiten 2), c — x, a
und die gegenüberliegenden Winkel B, C + D, -,l; hat.
Die Anwendung der Gleichung (12) auf das erste dieser
Dreiecke giebt
tang (b) = sin A tang 1-().
Aus dem zweiten Dreieck entnehmen wir auf dieselbe
Weise
tanglJ(a) = sinB tangTI(p).
Eliminirt man tang U(p) aus den letzten beiden Gleichungen,
so findet man von neuem die Gleichung (13). Die Anwendung
der Gleichungen (10), (11) auf das erste Dreieck liefert
- cosll(b) cosA = cosH(x)
sin/ln(b) = sinHl(x) sinT(p);
aus dem zweiten Dreieck entnehmen wir auf dieselbe Weise
sinn1(a) =- sinH[(p) sin jH( +- x).
Ersetzt man in dieser Gleichung sin l(c -- x) durch seinen
Werth, der aus der allgemeinen oben [Seite 24 für sin Hl(x + y)
gefundenen Formel entnommen ist, so hat man
sin H( (a sin H(c) sin H (x)
sinll( p) 1 + cos 1(c) cos H(x)
[636] Setzt man in diese Gleichung ein
sin H(b)
sin() -= i () cosJ7(x) = - cosH(b) cos,
so kommt
sini i(a) sin H(c)
sin fl (b) 1 - cosT (b) cos H(c) cos A'
eine Gleichung die identisch ist mit Gleichung (14).