Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

26 N. J. Lobatschefskij.
in das Innere des Dreiecks fällt, so dass es den Winkel C in
zwei Winkel D und C - D zertheilt, und die Seite c in zwei
Theile, x gegenüber D und c - x gegenüber C- D, so
werden zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen. Die Seiten
des einen dieser Dreiecke werden p, x, b, die gegenüberliegenden Winkel A, D, fc sein, die Seiten des andern
werden sein: p) c - x, a, die gegenüberliegenden Winkel B,: _- D, -- zc.
Die Anwendung der Gleichung (12) auf das erste dieser
Dreiecke giebt
tangj 1(b) = sin A tangl ());
aus dem zweiten dieser Dreiecke entnehmen wir auf dieselbe Art
tang I(ac) =sin B tang lT (),
woraus wir schliessen
(13) sin A tang 1- I(a) = sin B tang -(b).
Die Anwendung der Gleichungen (10) und (11) auf das
erste Dreieck liefert
cosH (b) cosl = cosll(x)
sinl(x) sinjn() =- sinJ7(b),
das zweite Dreieck giebt
sini1(/p) sinl7"(c - x) = sinDH(ac).
Setzt man in dieser letzten Gleichung an Stelle von sinll-( - x
seinen Werth, der aus der oben [Seite 24] gefundenen allgemeinen Formel für sin (x - y) entnommen ist, so kommt
sinHI(a) sin lT(c) sin JT(x)
sin ( 1) 1- cosl (c) cos l(x)
[635] woraus wir, indem wir einsetzen
sin (p) =sin H (b)
sin i' (x)
cos-77(x) = cosHl(b) cos,
die folgende Gleichung ableiten
sinl7(b) siiljl(c)
(14) 1 - cosl7(b) cosHT(C) cosA sinH(b)sinl
- smin I(a)