Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 25
cos n 7() - cos JL(y)
cos 11 (X +) - c 1osH(X) Cos (y
1 ( cos 7(x) cos n(y)
( - 1 - coH(x) cosHT(y)
sinJ H (x) sin / (y)
tangl H (X -y) I- cos (x) - +cos l7 (y)
[Das geradlinige rechtwinklige Dreieck.] Die Gleichungen
(2), (3), (4), die wir für ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck
gefunden haben, beziehen sieh auch auf ein geradliniges rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten a, b, c sind mit den gegenüiberliegenden Winkeln H(a), n (fi) und -,t. Ersetzen wir
also I(a) durch A, H(/j) durch B, so werden wir für jedes
rechtwinklige Dreieck, wo A der a gegenüberliegende, B der
b gegenüberliegende und re der c gegeniberliegende Winkel
ist, die folgenden Gleichungen erhalten:
J sin l(a) cosA sin B
(10) cosHj(c) cos, cos Hj(b)
cos I(c) cosB =- cosH(a).
Zu diesen Gleichungen füigen wir noch folgende Gleichung, die
auch oben [Seite 17] bewiesen worden ist,
(11) sinul(a) sinH(b) = sinlZ(c).
[634] Die erste der Gleichungen (10) kann, indem man darin
die Buchstaben unter einander vertauscht, so geschrieben
werden
sin H(b) cos B = sinA.
Setzt man darin den Werth von cos B ein, der aus der dritten
Gleichung (10) entnommen ist, so kommt
sinH(b) cosHf(a) - sinA cosl(c);
und indem wir aus dieser Gleichung mit Hiilfe der Gleichung (11)
sinH(b) entfernen, werden wir erhalten
(12) tanglt(c) = sinA taungT(ct).
[Das geradlinige schiiefwtinklige Dreieck.] Seien jetzt a, b, c
die Seiten eines beliebigen geradlinigen Dreiecks und A, B, C
die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel. Fällen wir vom
Scheitel des Winkels C ein Lot i? auf die Seite c. Wenn p