Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

24 N. J. Lobatschefskij.
Setzt man in dieser Gleichung an Stelle von TI(b), H(ai) ihre
Werthe, so kommt
cos 7(cG) {os i(e + I) 1-+ - 2 + )}
Aus dieser Gleichung leiten wir die folgende ab
tangl2 -, (c) t ang -H(e -- 3) tang If (c + ).
Da die Linien c und /3 sich unabhängig von einander in jedem
geradlinigen rechtwinkligen Dreieck ändern können, so können
wir nacheinander in der letzten Gleichung c = 3, c = 2 '3.
c = n/a setzen, und wir folgern aus den so abgeleiteten Gleichungen, dass im allgemeinen für jede Linie c und für jede
positive ganze Zahl n
tang 2 n(ec) tang (h e).
Es ist leicht,- die Richtigkeit dieser Gleichung für negatives
oder gebrochenes n zu beweisen, woraus folgt, dass, wenn man
die Längeneinheit so wählt, dass
tang 2 J(x) -= e'
ist, [633] wo e die Basis der NVeler'schen Logarithmen ist,
man für jede Linie x hat:
tang -1- (x) = ~-.
Dieser Ausdruck giebt H(x) -= r für x 0 unld 1(x) 0
ftir x - oo, 11(x) = - für x - o ibereinstimmend mit
dem, was wir oben [Seite 8] angenommen und bewiesen haben.
ilddcitionzstleor'e1me der trigonoimetrischzeln Ftnlctionen von l (x).]
Der für tang T- H(x) gefundene Werth giebt für jede Linie x
sin H(x) — x eSill / eJ + e-'
cosI() e= e —X
+ e-x
und für zwei willkürliche Strecken (x, y):
sin (X ) siniIl() sin T(y)
S1 -- cos (x) cos (y)
sin11 ( - (Xsin 1(x) sin(JlT(y)
1 - cos1T(x) cos1(dy)