Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 23
des Winkels 1-(a) eine Gerade, die parallel ist zu der letzten
Senkrechten, die folglich auch parallel sein wird zu der zweiten
Verlängerung von c. Der Winkel dieser Parallelen mit c wird
in allen Fällen HI(c - (3) sein und der Winkel, den sie mit
b bildet, wird H(b) sein, folglich
(-n') n(b) = H(G- ß) - n- -(C).
Es ist leicht, sich zu überzeugen, dass diese Gleichung
wahr ist, nicht nur für c > >,' sondern auch wenn cG -ß
und wenn c < (3. In der That, wenn c = ß(, so hat man
einerseits Il(c -- (0) - 0() =.-t, auf der andern Seite
wird das auf c im Scheitel von H (a) errichtete Lot parallel
zu a, woraus folgt, dass 1 (b) - T. - 1(ce) ist, was ibereinstimmt mit unserer Gleichung.
Wenn c < i3, so wird das Ende der Linie i üiber den
Scheitel des Winkels II(a) hinausfallen, in eine Entfernung,
welche gleich ist ('- c. Das Lot zu (3 in diesem Ende von ß
wird parallel zu a und zu der Geraden, die durch den Scheitel
des Winkels Hl(a) parallel [632] zu c gezogen ist, woraus
folgt, dass die beiden Nebenwinkel, welche diese Parallele
nit (i bildet, der spitze gleich H-(1( - c), der stumpfe gleich
11-(ca) +- IH(b) sein werden. Aber die Stimme der beiden
Nebenwinkel ist immer zwei Rechten gleich; also
U(ß' - C) + i(a) + H(b) = 7
oder
-1 (b) -= C - - ' G) -- - (a).
Aber nach der Definition der Function H1(x) ist
iv - 1((s - G) n (c -3),
was giebt
n(b) = l(e -:)- H ('),
d. h. die oben gefundene Gleichung, welche so für alle Fälle
bewiesen ist.
Die Gleichungen (II), (1') können durch die beiden folgenden ersetzt werden:
aI(b) = n-1 ( + (3) + n( - ( ')
n (C) = -n(c- ß/) -1 (c + ß).Aber die Gleichung (3) giebt uns
cos 1 (c) cos 11 (b)
cos11(d)