Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

22 XN. J. Lobatschefskij.
Die Gleichungen (6), (7), (8), (9) sind dieselben, welche mal
gewöhnlich in der sphärischen Trigonometrie giebt, und die
man mit Hiülfe der gewöhnlichen Geometrie beweist.
[Gültigkeit der 1sphäischen Trigonometrie.] Es folgt aus dem
was vorausgeht, dass die sphärische Trigonometrie dieselbe
bleibt, ob man nun die Voraussetzung annimmt, dass die Summe
der Winkel in jedem geradlinigen Dreiecke [631] zwei rechten
gleich ist, oder ob man die entgegengesetzte Annahme macht,
dass die Summe immer kleiner ist als zwei Rechte; das ist
sehr bemerkenswerth und gilt nicht für die ebene Trigonometrie.
[Berec7lzhug der FMtction H(x).] Bevor wir die Gleichungen
beweisen, die in der Pangeometrie die Beziehungen zwischen
den Seiten und den Winkeln jedes geradlinigen Dreiecks ausdrücken, wollen wir für jede Strecke x die Form der Function
suchen, die wir bis jetzt mit II(x) ausgedrückt haben. Betrachten wir deshalb [Fig. 8] ein geradliniges rechtwinkliges Dreieck, dessen
Seiten a, b, c sind mit den gegenüberB ~ liegenden Winkeln -H(ac), T-(fi), -Ic,
c ^ verlängern wir c iber den Scheitel des
l Winkels 1H(ß) hinaus, und machen wir
A b C die Verlängerung gleich i'. Das Lot,
Fig. 8. welches auf ß am Ende dieser Linie
errichtet ist nach der Seite des Scheitelwinkels von H(JI) hin, wird a und seiner Verlängerung iber
den Scheitel von II(ß) hinaus parallel sein. Legen wir noch
durch den Scheitel von Hl(c) eine Gerade, die eben dieser
Verlängerung von a parallel ist.
Der Winkel, den diese Gerade mit c bilden wird, wird
I(c + i) sein, und der Winkel, den sie mit b bilden wird,
wird HI(b) sein, und man wird die Gleichung haben
(j-) n(b) =- 1 (G +/ ) + H(a)..B Nehmen wir (Fig. 9] 'die Länge /~
vom Scheitel des Winkels HI(i) aus, auf
cer Seite c selbst und errichten auf dem
n>~*A- z7c E Ende von i) ein Lot zu ßi nach der Seite
\ \ - des Winkels H1(j') hin, so wird diese
Linie parallel sein zur Verlängerung von
a tiber den Scheitel des rechten Winkels
Fig. 9. hinaus. Ziehen wir durch den Scheitel