Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 21
Die Vergleichung del beiden Werthe von sin j) in (C), (D)
giebt von neuem die Gleichung (6); wir folgern aus den Gleichungen (C), (D)
eosb
tang x = cotg c- -os a
cos a sin c
und aus den Gleichungen (C)
tangx = - tang a cos B.
[630] Die Vergleichung dieser beiden Werthe von tangx fihrt
uns von neuem auf die Gleichung (7), welche so bewiesen ist
(ebenso wie dies oben für die Gleichung (6), geschehen ist)
für alle sphärischen Dreiecke im allgemeinen. Die Gleichung (7)
giebt durch Vertauschungen der Buchstaben die beiden folgenden
cosa - cos b cos c = sin b sinc cos A
cos - cosa cosb sinasinb cos C.
Multiplicirt man die letzte mit cos b, figt das Product zur
ersten und dividirt die Summe durch sinb, so kommt
cosasill b -- sin G cosA + sin C cos b cos C;
indem man darin an Stelle von sin c seinen Werth
sin C
sin c -- sin Ca
sin A
entsprechend der Gleichung (6) einsetzt, und sodann durch
sin a dividirt, so kommt
(8) cotanga sin b - cotangA sin C + cos cos C.
Ersetzt man hierin sin b durch seinen Werth
sin B
sin a -
sin A
lund multiplicirt man die Gleichung sodann mit sinA, so kommt:
cos a sinB- cosb cos C sin + sin C cosA,
woraus wir durch eine Vertauschung der Buchstaben folgern
cos b sin - cosc C sin B - sin C cos B.
Die Entfernung von cos b aus den letzten beiden Gleichungen
führt uns auf die folgende Gleichung:
(9) cosa sin B sin CG cos cos C +- cos A.