Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

18 N. J. Lobatschefskij.
von I-(a), B an Stelle von 1(b) setzen; auf diese Weise wird
aus den angeführten Gleichungen:
sinA sinc - sin c
(5) cosb sin A - cos B
cos a cos b -cos.
Die Gleichungen (5) beziehen sich auf ein sphärisches rechtwinkliges Dreieck, wie es aus einem geradlinigen rechtwinkligen Dreiecke abgeleitet werden kann, und dessen Seiten in
Folge dessen nicht m-: überschreiten können. Fügen wir
hinzu, dass, wenn wir durch den Scheitel des Winkels A einen
grössten Kreisbogen senkrecht zur Seite b ziehen, dieser Bogen
den Bogen a oder seine Verlängerung so schneiden wird, dass
jeder der Bogen vom Schnittpunkte bis zu b -= -t sein wird,
und der Winkel dieser Bogen b sein wird. Danach ist es
nicht schwer zu schliessen, dass in einem sphärischen rechtwinkligen Dreieck, wenn
<, man haben muss a <; A
22' 2 2
wenn e 2' ~ ~ ~ a A
2' 2'
endlich wenn c > -2 ~ ~ ~ a; A >
Es folgt daraus, dass, wenn wir annelhmen a > -7r, man zu
gleicher Zeit annehmen muss c > - r;; AÄ > -I. Verlängern
wir in diesem Falle die Seiten a, c iber die Seite b hinaus
bis zu ihrem Schnittpunkte, so werden wir ein anderes sphärisches rechtwinkliges Dreieck erhalten, dessen Seiten 7. - a,
b, -- c sein werden mit den gegenüberliegenden Winkein
c -A,, B - r, d. h. ein Dreieck, auf welches die Gleichungen
(5) sich anwenden lassen. Aber die [628] Gleichungen (5)
ändern ihre Form nicht, wenn man darin (z.- a) für a,
(r - c) für c und r- A fiür A einsetzt, was beweist, dass
die Gleichungen (5) sich auf jedes rechtwinklige sphärische
Dreieck anwenden lassen.
[Das schiefwinklige.sphärische Dreieck.] Gehen wir zu einem
beliebigen sphärischen Dreieck iber, dessen Seiten a, b, c mit