Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 13
In der gewöhnlichen Geometrie hat man
f(a) o
L(ca) a
für jede Linie a.
[Das ettgehör'ige sl)hziische recchtlinklige Dreieck]. Ziehen wir
ilFig. 3] zur Ebene des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Seiten
mit a, b, c bezeichnet worden sind,
das Lot AA', welches durch den Schei-
tel A des Winkels 11(a) geht.
Lassen wir durch dieses Lot zwei
Ebenen gehen, von denen die eine,
welche wir die erste Ebene nennen \ -
werden, auch durch die Seite b hin- 3
durchgeht, und die andere die zweite
Ebene durch die Seite c. Zeichnen
wir in der zweiten Ebene die Gerade Fig. 3.
BB' parallel zu A4', die durch den
Scheitel B des Winkels 17 (i) hindurchgeht, und lassen wir
eine dritte Ebene durch BB' und die Seite a des Dreiecks
hindurchgehen. Diese dritte Ebene wird die erste in einer
Geraden CC', die zu AA' parallel ist, schneiden. Nehmen
wir jetzt an, es sei eine Kugel beschrieben um den Punkt B3
als Mittelpunkt mit einem willkürlichen Halbmesser, der aber
kleiner ist als a, eine Kugel, die folglich die beiden Seiten a, c
des Dreiecks und die Gerade BB' in drei Punkten treffen
wird, die wir so nennen werden: den ersten n, den zweiten vm
und den dritten k. Die Bogen der grössten Kreise, welche
die Schnitte dieser Kugel mit den drei durch B gehenden
Ebenen sind, Kreise, die die Punkte n, k, zu je zweien
verbinden, werden ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck bilden,
dessen Seiten sein werden mn = I ((1), kmn 11 (c), kng =.7I(a).
Der sphärische Winkel klcnm ist gleich II(b) und der Winkel
/kmn wird ein rechter sein. Da die drei Geraden unter einander parallel sind, so ist die Summe der drei Kantenwinkel,
welche die von den Geraden AA', BB', CC' begrenzten
Ebenentheile AA'BB', -A'CC', BB' CC' mit einander bilden,
zwei rechten gleich. Es folgt daraus, dass der dritte sphärische Winkel m1tkn gleich H(a') ist. Man sieht also, dass jedem
[624] geradlinigen rechtwinkligen Dreieck, dessen Seiten ac, b,
und dessen gegeniberliegende Winkel JI(a), 1H(i),.-t sind,
ein sphärisches rechtwinkliges Dreieck entspricht, dessen Seiten