Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

12 N. J. Lobatschefskij.
p
1 - EWählen wir als Flächeneinheit die Fläche P, welche eine
Bogen von der Länge Eins und dem Werthe x 1 entsp rich
so wird sie allgemein für einen beliebigen Bogen s
Es
E- 1
In der gewöhnlichen Geometrie ist das mit E bezeichnete Verhältniss constant und der Einheit gleich; es folgt daraus, dass
in der gewöhnlichen Geometrie zwei parallele Gerade iiberall
denselben Abstand haben, und dass die Fläche des Theiles
der Ebene, welcher zwischen den beiden parallelen Geraden
gelegen ist, und nur auf der einen Seite begrenzt ist durch
das ihnen gemeinsame Lot, tunendlich ist.
~ 3. Geradlinige, sphärische unld Greilzkugel-Dreiecke.
[Das gercadlinige rechtzinklige Dreieck.] Betrachten wir jetzt
ein geradliniges rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten a, b, G
sind, während A, B, -- T die diesen Seiten gegenüberliegenden
Winkel sind. Die Winkel AB können als Parallelwinkel
II(a), n (i3) aufgefasst werden, die Geraden von den positiven
Längen a, j' entsprechen. Kommen wir noch iberein, von
jetzt ab durch einen Buchstaben mit einem Accent eine Strecke
zu bezeichnen, deren Länge einem [623] Parallelwinkel entspricht, welcher das Complement zu einem rechten Winkel ist
von demjenigen Parallelwinkel, welcher einer Strecke entspricht7
deren Länge mit demselben Buchstaben ohne Accent bezeichnet
wird, so dass man immer hat
ra., n(Ca} + ll ) -(-)+ (a' ==
^ ^^> ~ ~ 6 n(b) + 11(b') = 1.
'* cc) Bezeichnen wir [Fig. 21 mit /(ca) den Theil
einer Parallelen zu einer Axe des Grenzkreises, welcher eingeschlossen ist zwischen
Fig. 2. dem zu dieser Axe im Scheitel des Grenzkreises errichteten Lot und dem Grenzkreise
selbst, wenn diese Parallele durch einen Punkt des Lotes geht,
dessen Abstand vom Scheitel a ist, und sei endlich L(a) die
Länge des Bogens vom Scheitel bis zu dieser Parallele.