Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 11
-" -_ E; - = E u. s. w.,
S,, E S.
was bewiesen werden sollte.
Um dasselbe zu beweisen in dem Falle, wo E eine irrationale Zahl ist, wird man eine der Methoden anwenden können,
die in ähnlichen Fällen der gewöhnlichen Geometrie gebräuchlich sind, ich lasse die Einzelheiten, der Kirze halber weg.
Also ist
S S 83
s s s
Danach ist es nicht schwer zu schliessen, dass
s' = sE- 7,
[622] wo E der Werth von s: s' für den Fall, wo x, der Abstand zwischen den Bogen s und s', der Einheit gleich ist.
[Grenzvkreissector.] Es muss bemerkt werden, dass das Verhältniss E nicht von der Länge des Bogens s abhängt und
dasselbe bleibt, wenn die beiden gegebenen parallelen Geraden
sich von einander entfernen oder sich einander nähern. Die
Zahl E, welche nothwendig grösser als die Einheit ist, hängt
nur von der Einheit der Länge ab, welche der Abstand von
zwei aufeinanderfolgenden Bogen ist, und die vollkommen willkürlich bleibt. Die Eigenschaft, die wir soeben in Bezug auf
die Bogen s, s', s",... bewiesen haben, bleibt bestehen für
die Flächen P, P', P",..., die begrenzt sind von zwei aufeinanderfolgenden Bogen, und die beiden Parallelen. Man hat
also
p'- PE-x.
Vereinigen wir die n ähnlichen Flächen P, P', P",.. p.(2-),
so wird die Summe sein
1 - E-nx
p
1 E-
Für n = oo giebt dieser Ausdruck den Flächeninhalt des
Theiles der Ebene zwischen zwei parallelen Geraden, der nach
der einen Seite durch den Bogen s begrenzt wird und unbegrenzt ist nach der Seite des Parallelismus hin, und der Werth
dieser Fläche wird sein