Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

10 N. J. Lobatschefskij.
[ Grenzvkreisbogen w-ischen Pcartallelen. Seien jetzt s, s', s'"...
eine Reihe von Grenzkreisbogen, die zwischen zwei parallelen
Geraden enthalten sind, und nehmen wir an, dass die Theile
von jeder Parallele, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Bogen enthalten sind, [621] alle unter einander gleich sind
und gleich x, nennen wir E das Verhältniss von s zu s'
s
wo E eine Zahl ist, die grösser ist als die Einheit.
Setzen wir zuerst E —, wo vm und n ganze Zahlen
9m
sind, und theilen den Bogen s in qm gleiche Theile. [FIig. 1.] Sei
AB der erste Theil von s.
___' A___" A' B' der erste Theil von s'
15 B s'-l s" Ä A"B" der erste Theil von s"
1_ JI)~ — L u. s. f., wo A A', A",...
die Punkte sind, welche auf
Fig. 1. einer der beiden gegebenen
Parallelen gelegen sind, und
legen wir A'B' derart auf AB, dass A und A' zusammenfallen, und dass A'B' auf AB fällt. Wiederholen wir diese
Aufeinanderlegung n-mal nach einander. Da nach Voraussetzung s: s' = n:, so wird nothwendig nA'B' A= AB sein,
und da folglich das zweite Ende von A'B' nach der n-ten
Uebereinanderlagerung mit dem anderen Ende von s zusammenfällt, welches in n gleiche Theile getheilt sein wird, so werden
s', s,... auch jedes in mn gleiche Theile getheilt durch die
Parallelen zu den gegebenen parallelen Geraden. Wenn man
aber bedenkt, dass, indem man die oben angegebene Uebereinanderlagerung ausfihrt, A'B' den Theil der Ebene mit sich
nimmt der in diesem Bogen und den beiden Parallelen, die
durch seine Endpunkte gezogen sind, begrenzt wird, so ist klar.
dass, während n-mal A'B' den ganzen Bogen s bedeckt, nA"B"
den ganzen Bogen s' bedecken wird und so weiter, weil in
diesem Falle die Parallelen zusammenfallen müssen im ganzen
Verlaufe, so dass man hat
n A" B" m A' B'
oder was dasselbe ist