Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 9
begrenzt wird, wird Grenzkugeldreieck genannt, die Grenzkreisbogen werden Seiten, und die Kantenwinkel zwischen den
Ebenen dieser Bogen Winkel des Grenzkugeldreiecks genannt.
[Pacallelisvmzus dreier Geraden.] Zwei Gerade, die einer dritten
parallel sind, sind unter einander parallel.8) (Geometrische
Untersuchungen ~ 25.) Es folgt daraus, dass alle Axen des
Grenzkreises und der Grenzkugel unter einander parallel sind.
[Geometrie tauf der Grenzkugel.] Wenn drei Ebenen sieh zu
je zweien in drei parallelen Geraden schneiden, und wenn man
jede Ebene begrenzt auf den Theil, welcher zwischen den
beiden Parallelen gelegen ist, dann ist die Summe der drei
Kantenwinkel, welche diese Ebenen bilden, zwei rechten
Winkeln gleich. 9) (Geometrische Untersuchungen ~ 28). Aus
diesem Satze folgt, cass die Summe der Winkel jedes Grenzkugeldreiecks zwei rechten Winkeln gleich ist, und alles, was
man in der gewöhnlichen Geometrie tiber die Verhältnisse der
Seiten der geradlinigen Dreiecke beweist, kann folglich auch
auf dieselbe Art in der Pangeometrie von den Grenzkugeldreiecken bewiesen werden, indem man nur die der einen Seite
eines geradlinigen Dreiecks parallelen Geraden ersetzt durch
Grenzkreisbogen, die durch die Punkte der einen Seite eines
Grenzkugeldreiecks gezogen sind und alle denselben Winkel
mit dieser Seite bilden. Wenn also zum Beispiel p qr die
Seiten eines Grenzkugeldreiecks und P, Q, — 2r die diesen Seiten
gegenüberliegenden Winkel sind, so muss man genau wie fir
die geradlinigen rechtwinkligen Dreiecke der gewöhnlichen
Geometrie die folgenden Gleichungen annehmen
) - ' sin P = cos Q
q = r cosP = sinQ
[Abstand von vwei Parallelen.] In der gewöhnlichen Geometrie beweist man, dass der Abstand von zwei parallelen
Geraden constant ist.
In der Pangeometrie nimmt dagegen der Abstand p des
Punktes einer Geraden von der parallelen Geraden nach der
Seite des Parallelismus ab, d. h. nach der Seite, zu der der
Parallelwinkel H((p) gewendet ist. 0)