Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

8 N. J. Lobatschefskij.
Winkel mit 1(p1), weil er von der Länge des Lotes abhängt.
In der gewöhnlichen Geometrie hat man immer H (p) gleich
einem rechten Winkel für jede Länge von p1. In der Pangeometrie durchläuft der Winkel.1(p) alle Werthe von Null
an, welcher Werth p == oo entspricht, bis zu H(p) gleich
einem rechten Winkel, für p - 0 (Geometrische Untersuchungen
~ 23). Um der Function H 1() einen allgemeineren analytischen Werth zu geben, nehme ich an, dass der Werth dieser
Function für negatives p, ein Fall auf den sich die ursprüngliche Erklärung nicht ausdehnen lässt, festgesetzt ist durch
die folgende Gleichung:
(p)+ H(-p)= 7c.
So kann man für jeden Winkel A > 0 und <:7 eine Linie p
finden, so dass TI(p) = -A, wo die Linie p positiv sein wird,
wenn A < 8 -:. Umgekehrt giebt es für jede Linie p1 einen
Winkel A, so dass A = H(p)l. [Der Gren k;reis.] Ich nenne
Grenzkreis den Kreis, dessen Halbmesser unendlich gross
ist, er kann näherungsweise gezogen werden, indem man auf
die folgende Art so viel Punkte davon als man will zeichnet.
Nehmen wir einen Punkt auf einer unbegrenzten Geraden,
nennen wir diesen Punkt Scheitel und diese Gerade Axe des
Grenzkreises, zeichnen wir einen Winkel A > 0 und < - 2-,
dessen Scheitel mit dem Scheitel des Grenzkreises zusammenfällt, und dessen einer Schenkel die Axe ist, sei endlich a die
Linie, welche giebt II(c) =- A, und tragen wir auf dem zweiten
Schenkel des Winkels vom Scheitel aus die Strecke 2 c ab,
dann wird der Endpunkt dieser Strecke sich auf dem Grenzkreise befinden; um den Zug des Grenzkreises nach der anderen Seite fortzusetzen, wird man diese Construction auf dieser
Seite wiederholen missen. Es folgt, dass alle Geraden parallel
zur Axe des Grenzkreises als Axe dienen können. 7) [Die
Grenzkzugel.l Die Drehung des Grenzkreises um eine seiner
Axen erzeugt eine Fläche, die ich Grenzkugel nennee, und
die folglich die Grenze ist, der die Kugel sich nähert, wenn
ihr Halbmesser ins Unendliche wächst. Wir werden die Drehungsaxe, und folglich auch alle [620] Geraden, die zur Drehungsaxe parallel sind, Axen der Grenzkugel nennen, und Durchmesserebene jede Ebene, die eine oder mehrere Axen der
Grenzkugel enthält. Die Schnitte der Grenzkugel mit ihren
Durchmesserebenen sind Grenzkreise. Ein Theil der Oberfläche der Grenzkugel, der durch drei Bogen von Grenzkreisen