Pangeometrie, von N. J. Lobatschefskij. Kasan 1856. Uebers. und hrsg. von Heinrich Liebmann. Mit 30 Figuren im Text.

Pangeometrie. 7
verlängert sind), welche sie schneiden, und denen, welche sie
nicht schneiden.
Ich habe eine vollständige Theorie der Parallelen veröffentlicht unter dem Titel ~Geometrische Untersuchungen zur
Theorie der Parallellinien. Berlin 1840. In der Fincke'schen
Buchhandlung.~3) In dieser Arbeit habe ich zuerst alle Lehrsätze auseinandergesetzt, die ohne Hülfe der Lehre von den
Parallelen bewiesen werden können. [Inhalt des sphärischen
Dreiecks.) Unter diesen Sätzen ist derjenige besonders bemerkenswerth, der die Beziehung des Flächeninhalts jedes sphärischen Dreiecks zur Oberfläche der ganzen Kugel angiebt, auf
der es gezeichnet ist (Geometrische Untersuchungen ~ 27). Wenn
A, B, C die Winkel eines spharischen Dreiecks bezeichnen und
fr zwei rechte Winkel, dann wird das Verhältniss des Flächeninhalts dieses Dreiecks zum Flächeninhalt der ganzen Kugel,
der es angehört, gleich sein dem Verhältniss von
(A + B + c - -r)
zu vier rechten Winkeln.4)
[TTVinkelszumme im Dreieck.] Sodann beweise ich, dass die
Summe der Winkel jedes geradlinigen Dreiecks niemals zwei
rechte Winkel ibertreffen kann (Geometrische Untersuchungen
~ 19)5) und dass, wenn diese Summe in einem beliebigen
Dreieck zwei rechten Winkeln gleich ist, sie es in allen sein
wird (Geometrische Untersuchungen ~ 20).) i So giebt es nur
zwei mögliche Voraussetzungen: entweder ist' die Summe der
drei Winkel in jedem geradlinigen Dreieck zwei rechten
Winkeln gleich, diese Voraussetzung giebt die [619] bekannte
Geometrie, oder in jedem geradlinigen Dreieck ist diese Summe
kleiner als zwei rechte Winkel, und diese Annahme dient zur
Grundlage einer andern Geometrie, der ich den Namen imaginäre
Geometrie gegeben hatte, aber die man vielleicht passender
als Pangeometrie bezeichnet, weil dieser Name eine allgemeine geometrische Lehre bezeichnet, welche die gewöhnliche
Geometrie als besonderen Fall enthält. [Parallelwinkel.] Es
folgt aus den in der Pangeometrie angenommenen Grundlagen,
dass ein Lot p, welches von einem Punkte einer Geraden auf
eine ihrer Parallelen gefällt ist, mit der ersten zwei Winkel
bildet, von denen der eine spitz ist. Ich nenne diesen Winkel
Parallelwinkel und die Seite der ersten Geraden, wo er
sich befindet, eine Seite, die für alle Punkte dieser Geraden
dieselbe ist, Seite des Parallelismus. Ich bezeichne diesen