Cours de mécanique rationelle et expérimentale, spécialement écrit pour les physiciens et les ingénieurs conforme au programme du certificat de mécanique rationelle, par H. Bouasse.

GEOMETRIE DU MO UVEMENT

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73. Composition d'une translation et d'une rotation finies.
-- D6composons la translation T en deux translations, l'une Tp paralle e a l'axe de rotation, l'autre T perpendiculaire a cet axe.
L'operation TpR se compose de deux parties qui ne sont pas de
meme espece et ne peuvent se composer; l'ensemble constitue un
mouvement helicoidal. L'operation TpR est permutative: on obtient
le meme resultat quand on commence par tourner, puis qu'on deplace
ensuite le long de l'axe de rotation, ou quand on commence par
deplacer pour tourner ensuite.
Considerons done l'operation complexe TR; nous allons voir qu'elle
e6cuivaut a une rotation de merne grandeur et de nmeme sens autour
d'un axe parallele a R. Mais le nouvel axe est different suivant que
l'operation est TR ou RT: 'operation n'est pas permutative.
Prenons comme plan du tableau un plan P normal a l'axe R, et
par consequent parallele
a la translation T. Soit
R la trace et 2a l'angle RnT R T C
de rotation clans le sens /
de la flache (fig. 50). \ \ / \ /
Les operations TR ou
RT laissent une figure
du plan P dans ce plan;
d'ailleurs la figure n'est T T
pas modifiee. Si donc R' B B1 R
nous trouvons un point OperatonTR OperationRT
de la figure que l'ope-.
ration TR ou RT ne
deplace pas, nous conclurons qu'elle est equivalente a une rotation unique autour d'un axe
normal a P et passant par ce point. Les phenomenes sont en effet
identiques pour tous les plans paralleles a P.
1~ Consid6rons un triangle isoscele d'angle R=-2a, et dont le
cote oppos6 est egal et parallele a la translation T. Je dis que le
point R' n'est pas d6plac6 par l'operation TR et qu'on a
T. R (2) ' (2x).
En effet la translation T amene R' en B, la rotation ramene B
en R'. Done l'operation TR vaut une rotation autour d'un axe R'
parallele a R.
Cette rotation est precisement 2a. Operons en effet sur le point R.
La translation l'amene en C, la rotation l'amene en D.
Evaluons l'angle Rl'D.
En supposant men6e la hauteur du triangle RR'B, on voit immediatement que:
DRB -::~ 2 - 3a, R'RD --: 2 -- RBR'.