Cours de mécanique rationelle et expérimentale, spécialement écrit pour les physiciens et les ingénieurs conforme au programme du certificat de mécanique rationelle, par H. Bouasse.

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cipales, il est bon de remarquer que leur determination donne lieu
aux calculs memes du ~ 492. Reciproquement, quand on a resolu le
determinant de Lagrange et trouve le systeme (2) du ~ 492, on peut
determiner immediatement les vibrations principales.
Ecrivons le systeme (2) sous la forme:
a a - + -F a+ + a -t
b + hbI + b32 T + d- q
C = C1 + C2 + Ca3...
= *.. *......
Resolvons par rapport a O, i,,...; ces nouvelles variables
s'expriment lineairement en fonction de a, b, c,...; ce sont les
variables principales.
494. Cas ou le determinant de Lagrange egale a zero a des
racines egales. - Si le determinant de Lagrange 6gale a zero a
deux racines egales (1 et o,, il peut se presenter deux cas.
Ou bien la solution est de la forme:
a - (a, +- at) sin (o,t - 81) + a3 sin (0ot- 03) -.-..,
b = (b, - bt) sin (cot -- 1) +- b3 sin (t)3t — ) - * * *..
ou bien il y a indetermination pour les coefficients a, b,, c1,... Au
lieu que tous les coefficients de m6me indice soient determines quand
nous prenons arbitrairement l'un d'entre eux, nous pouvons arbitrairement en choisir deux s'il y a deux racines egales, trois s'il y a
trois racines 6gales,...
II resulte de la nature meme du probleme que la seconde hypothese est seule admissible. Toute difficulte disparait du reste si on
considere les vibrations principales. Un certain nombre d'entre elles
ont meme periode: peu importe, puisqu'elles sont parfaitement ind6 -pendantes.
Mais dans le cas des racines egales, l'ind6termination fait qu'on
peut trouver une infinite de systemes de vibrations principales. Par
exemple, si a et b sont deux variables principales de meme periode,
m = c a cos a +b sin a, n = a sin a - b cos a,
sont aussi des variables principales, puisqu'on a identiquement:
m2 + 12 - a2 + bh
Les fonctions T et V conservent la meme forme simple pour les
variables m, n.
Par exemple, pour le pendule conique ordinaire et des vibrations
petites, tout systeme de plans rectangulaires verticaux passant par
le point de suspension determine un systeme de vibrations principales.