Cours de mécanique rationelle et expérimentale, spécialement écrit pour les physiciens et les ingénieurs conforme au programme du certificat de mécanique rationelle, par H. Bouasse.

RESONANCE

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pace (changements d'cehelles sur les axes), je peux donner a cet
ellipsoide l'equation d'une sphere; enfin, par une nouvelle rotation
des axes, je peux les amener a coincider avec les axes de l'ellipsoide 2, ce qui laisse inalteree la forme de l'equation de l'ellipso'de 1,
qui est maintenant celle d'une sphere. Done trois substitutions lineaires
ramenent les equations des deux ellipsoides a la forme
x2+ y2 + z2 R2 Ax2 +By2 + Cz2 D.
Or il est clair qu'on peut obtenir le meme resultat d'un seul coup,
un nombre quelconque de substitutions lineaires consecutives pouvant etre remplac6 par une seule convenablement choisie.
D'ailleurs on voit immediatement la possibilit6 du theoreme
general.
Pour supprimer les doubles produits des deux formes quadratiques,
il faut disposer de deux fois n(n —1): 2 arbitraires, soit en tout
de n2-n arbitraires. Pour 6galer a l'unite les n coefficients des
carres de l'une des formes, il faut disposer de n arbitraires. D'oui la
necessite de n2 arbitraires. C'est precisement le nombre des coefficients d'un systeme de n equations lineaires reliant deux groupes de
n quantites.
Supposons la transformation effectu6e; les equations de Lagrange
deviennent
a" + B =a 0,
b"+ Bbh 0,
Le mouvement le plus general est alors:
a = a0 sin (-B t - 1),
b = bo sin (\/B2 t - 2),
Les 2n constantes d'integration sont a,,...;, 2,...
Les vibrations ainsi determinees sont dites principales.
Elles sont absolument independantes; nous pouvons choisir arbitrairement leurs amplitudes et leurs phases. Elles se superposent
sans se troubler. Mais, cela est essentiel, il ne faut pas s'imaginer
qu'elles correspondent respectivement au mouvement de quelque partie distincte du systeme mecanique. Au contraire, chaque vibration
principale se compose generalement d'un mouvement d'ensemble de
toutes les parties dont les deplacements sont entre eux dans des
rapports completement determin6s. L'amplitude de la vibration de
Fune des parties determine l'amplitude des vibrations de toutes les
autres; les phases des vibrations qui constituent chaque vibration
principale sont les memes.
REMARQUE.
Pour fondamentale que soit la consideration des vibrations prinCours de Physique. - H. BOUASSE. 34