Cours de mécanique rationelle et expérimentale, spécialement écrit pour les physiciens et les ingénieurs conforme au programme du certificat de mécanique rationelle, par H. Bouasse.

RESONANCE

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parce que les calculs de tous les exemples sont pousses h bout et
deviennent la demonstration des propositions g6nerales dans des cas
particuliers.
Systermes conservatifs d'energie.
492. Equations de Lagrange. - Soient a, b, c,... les coordonnees g6neralisees. Quand les equations qui relient les coordonnees x, y, z,... des divers points du systeme aux coordonn6es
generalis6es a, b c,... ne contiennent pas explicitement le temps
(ce que nous supposerons toujours), nous savons (~ 313) que la force
vive est une fonction quadratique homogene des vitesses a', b', c',...
Nous poserons donc:
2T - Aa'2 + A2b'2 +... + 2Aia'b' + 2A,,a'c' +...
Les A sont generalement des fonctions des coordonnees a, b, c,...
Mais comme il s'agit de petites oscillations, nous les supposerons
constants et egaux a leurs valeurs pour la position d'equilibre autour
de laquelle le systeme oscille, et pour laquelle on a: a b - c... - 0.
Nous admettons que les forces derivent d'un potentiel. Comme
elles doivent s'annuler pour la position d'equilibre, nous pouvons
mettre le potentiel sous la forme:
2V = 2Vo + Ba2 + B2b2 +... + 2B,,ab + 2B1,ac +...
Cela revient a developper le potentiel par rapport aux puissances
croissantes des coordonn6es generalisees et a negliger les termes
superieurs aux carres. Toujours par suite de l'hypoth6se qu'il s'agit
de petites oscillations, nous traiterons les B comme des constantes.
Ceci pose, les equations de Lagrange sont (~ 314):
(Aa" + A2" + A,3C"+...) + (B + Bb + B3+...) 0,
(A2,a" + A2b' + A23C" a+...) + (B2,a + B2b + B23c +...) 0,
(AA,,a"- b.....)+ (B l,+........ ) 0.
Nous ecrivons tantot A1:, tantot Ai pour la symetrie des equations; il est evident que
Aij =- Aj, Bij Bji.
On a pour solution les n vibrations complexes
a - a, sin (ot - 8,) + a, sin (ot - 82) +- a sin (ot - t 3) —...
b = b sin (c,)t - 8,) - b, sin (ot- 2,) -- b, sin (o,)t - 3) -... (2)
c c, sin (cot - O) -+- c sin (cot - 2) + C3 sin (3ot - 3) +..*