Cours de mécanique rationelle et expérimentale, spécialement écrit pour les physiciens et les ingénieurs conforme au programme du certificat de mécanique rationelle, par H. Bouasse.

AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 433

Considerons en effet deux termes cons6cutifs qui sont de la forme,
au facteur -4- 2n!, pres
tn + 2s
2.4...2s.(2 -+ 2)(2n +4)... (2i + 2s)
t 4-l 2 S + 2
2.4... (2s + 2). (2n + 2).. (2 + 2s+ 2)
Les termes qui seront en 1t'"2' apres la substitution dans l'equation diff6rentielle, proviennent de l'un ou l'autre de ces termes: trois
proviennent du second, un du premier. Negligeant les facteurs communs, on verifiera l'identite:
(n +2s +2)(n+ 2 1) + (n+2s + 2)
-(2s +2) (2n +2s + 2)-n 0.
Voici quelques formules fondamentales reliant entre elles les fonctions de Bessel. On a: dt - Jn n+ (2)
Pour verifier cette identite, il suffit d'utiliser le terme en tn+2S+2
(ci-dessus ecrit et appartenant a Jn) ofi l'on retablira le facteur
[1 (2'"n)!], et le terme suivant de J,,+,
1 tn + I + 2s
1 + I
2 t+(n- + )! 2.4..7 2S.(2nz+6)7... (2n+2 —+ 2)'
On a encore: d -( -J+) (3)
Eliminant dJ: dt, entre (2) et (3), il reste
21n
Jn _ ---- t J + Jn. + =0. (4)
La formule (3) ne s'applique pas t n=-0; on verifie l'identite:
dJo
t ---J. (8)
I1 est facile d'obtenir les derivees successives des fonctions J en
fonction les unes des autres; il suffit de deriver (3)
CdJ, 1 dJn_-1 I Jn + /1
t2 2 _ - d7-$ J (JfL_( n- 2-Jn) -(Jn — Jn+2)]'
d12 - 2Jdt dt / A
4 d =J,8_-2J8+ n,2 (6)
dlt2 -,,_,- - J Jn 2+ (6)
Et ainsi de suite.
Conformement au ~ 415, on dcmontre que la valeur asymptotique
de Jo(t) est: Jo(t) / cos i- (7)
Cours de Physique. - H. BOUASSE. 28