Cours de mécanique rationelle et expérimentale, spécialement écrit pour les physiciens et les ingénieurs conforme au programme du certificat de mécanique rationelle, par H. Bouasse.

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347. Probleme de Kepler; serie de Lagrange. - Le probleme
de Kepler consiste a trouver 1'expression des coordonnees 0 et r en
fonction du temps. Theoriquement, le probleme est resolu par i'intermediaire de la variable auxiliaire u et des equations (3), (4) et (5).
Mais on congoit l'avantage d'une expression directe.
Elle est fournie par la serie de Lagrange, tres convergente quand
l'excentricite e est petite. Voici quelques excentricites d'orbites planetaires pour fixer les ides:
Mercure. Venus. Terre. Mars. Jupiter. Saturne. Uranus. Neptune.
0,203 0,007 0,017 0,093 0,048 0,056 0,047 0,009
On n'oubliera pas que pour e=O, l'orbite est un cercle; c'est
une parabole pour e =l, (b2: a= 0).
La plus grande excentricite est celle de la petite planbte Istria
(0,349).
Le calcul se fait par approximations successives.
Indiquons-le pour u. Comme premiere approximation on a
u = ot; u t= t + e sin u -= ot +- e sin ot;
formule deja plus approchee. Continuons; on a:
u = ot +- e sin u - ot + e sin [ot -+- e sin ot].
Developpons le second membre et bornons-nous aux termes en e2;
il reste
u - ot + e sin ot -- - sin 2ot.
Et ainsi de suite.
SERIE DE LAGRANGE.
L'expression precedente rentre dans une serie beaucoup plus generale due a Lagrange et dont les applications sont nombreuses.
Soit une fonction u reliee a la variable x par la formule
u=-x+ef(u). (1)
On suppose que e est une quantite assez petite pour qu'on puisse
developper u en serie convergente ordonn6e par rapport aux puissances croissantes de e.
Considerons u comme une fonction de e; nous pouvons ecrire
e. ( e2" e3
u= (e) - ()+ ' (0)+ (0)+ 1..3 (0)+ (2)
Identifions (1) et (2). Derivons (1) par rapport a e
bu bu
- — f (u) - ef'(u) -; (3)
faisons e=- 0. I1 vient
u=x, u= (0); '(0) f().