Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

80 G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN.
want r (2) heeft men onmiddellijk uit A, wijl door dezelfde betrekking
A herleid wordt tot
Ax = -62. 2-1 — al3- r3 (.
21
r({) heeft men uit Ai, en daarmede dan ook r(-i).
Door m -= en = te stellcn, vcrkrijgt men twee vergelijkingen, in
welke zullen voorkomen r (-), r (4) en r (4t), r ( ); dez hangen dus
af van r(T ) en r (-), wlke beide derhalve uit de herleide vergelijkin.
gon zullen kunnen opgelost worden.
Met r (,) heeft men r(|) uit A, vermits uit de bekende betrekking
22F-. r (p). r (p ) = 2.r(2p)
gevonden wordt eene waarde van r (-o) r (- + 4) in functie van r ()
en r().
r(j) wordt bekend. uit r (0) = r ( —0 + -)
r(-) heeft met uit A_, door eerst r (5) op te lossen.
En zoo kan men voortgaan met het aannemen van vcrschillende positieve gebrokene waarden voor m, ome, voor regelmatig opvolgende wortels,
meetkundige voorstellingen van r aan te wijzen. Met goed gevolg maakt
men daartoo ook gebruik van negatieve gebrokene waarden voor nm, mits
de algemeene formule voor den inhoud aldus schrijvende
Am =- a2 a22. 2 —.
r(2m+ )
Am=-=- a 2. 2 2 'r (2zm-l- 1)
Men kan ook, in de oorspronkelijke formule, r = a cos.?, m geheel
en negatief stellen. De kromme lijnen worden alsdan do omgekeerdo van die,
in welker vergelijkingenr m als positievo exponent voorkomt, en zijn derhalve
opene kromme ljnen. Voor m -+ 1 wordt de kromme een cirkel, hebbende
a tot middellijn; m -= - zijnde, zoo behoort de polaire aequatie tot eene regte
lin,