Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. JERDAM, BIJDRAGE' TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN. 77
b. Do wiskundige SERRET kwam, bij de beschouwing van de rectificatie der gewone lemniscata en der cassinoïde, op het denkbeeld der
behandeling van de meer algomeene vergelijkingen:
rm am. co. m cf
l 2m- 2a'm rm cos. m + a2n = b2m
inhoudendo de bijzondero vergelijkingen van lemniscaten en cassinoiden van
hoogere orden. Bij de inleidende beschouwingen (~1, hier voor) is ook
opgemerkt de nog algemeenere vergelijking (6), welke tot onderscheidene
andere lemniscaten van hoogere orden kan behooren. Lettende nu op den
vorm dezer vergelijkingen, zoo wvorti men gebragt tot het denkbeeld der
beschouwing van zoodanige andere vormen, welke uit de voorgaande ontstaan, door eenvoudiglijk do coeficiënten n e exponenten der polaire coordinaten n der parameters met elkander to verwisselen. Daardoor ontstaan,
zoo men b. v. slechts let op de twee bovenstaande vergelijkingen; deze
twee vormen:
m
r_...
kunnende, tot meerdere algemeenheid, het dubbele teeken voor de tweedc
leden gesteld worden, wanneer m cen goheel, positief en even getal is. Is
m geheel en positief, even of oneven, zoo behoort de eerste vorm lot de
vergelijkingen eener soort van kromme lijnen, welke bestaan nit de zamenvoeging van twee cironden, met de minder bolle of meer spitse toppen naar
elkander gekeerd en togen elkander sluitende, zoodat het geheele beloop
min of meer lemniscatisch is. De tweede vorm behoort tot vergelijkingen
van kromme lijnen, die én eene ovale, en eene dubbel strikvormige gedaante kunnen hebben; - zoo is b.v. voor m = 2 de vorm der aequalie
niet onderscheiden van dien der vergelgjking (11), in $ I behandeld. Om
in geene te breede ontwikkelingen te treden worde hier de aandacht, voor
eenige oogenblikken, slechts gevestigd op den eersten vorm
K 3;r