Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCIOUWING DER LEMNISCATEN. 75
Bernouilli. Indien men deze laatsie, bij den knoop, in tweehelften scheidt,
en dezelve alsdan, zonder omkeering, van plaats verwisselt, zoodat de toppen nu bij het centrum, alwaar ecrst de knoop was, in aanraking komen,
en de beide hoeken of spitsen van den oorspronkelijken knoop nu toppen
worden op dezelfdo lijn, welke ook eerst de as was, dan zal men genoegzaam
den vorm hebben voorgesteld van de kromme lijn, welker construclie zoo
even is opgegeven. Zij is dus, als het ware eene lemniscata met spitse
toppen; de raaklijnen, door deze toppen gaande, maken ook, even als de
centrale raaklijnen der bernouilliaansche lemniscata, halve regte hoeken met
de as, maar door den knoop zal nu slechts ééne raaklijn gaan. Overigens
dient de vergelijking van`den vorm der kromme ljn met dien, welko, op
voorzegde wijze, door middel eener bernouilliaansche lemniscata, zou kunnen verkregen worden, alleenlijk tot opheldering of begrip der uitkomst van
de constructie; want er moge overcenkomst bestaan ten opzigte der rigting van de genoemde raaklijnen, de ligging der punten is toch met betrekking tot de assen zeer verschillend.
De poolvergeljking der kromme lijn is
r = a (1-sin. c),
zijndo a de halve as en r de voerstraal. De vergelijking onder orthogonale
coordinaten is van den vierden graad. De inhoud en de orntrek worden
gevonden in bepaalde finctiën van r of van, maar voor het tegenwQordig oogmerk geven zij geene aanleiding tot belangrijke opmerkingen.
Men kan dezelfde constructie herhalen in eene ellips, hebbende a en b
tot halve assen. De poolvergelijking der voortgebragte kromme lijn zal
wezen.2 =_ a2162 (- sin c)2
a. sinz.2 cp + b2. cos.2;
onder regthoekige coordinate is hare vergelijking van den achtsten graad
met termen, die allen van evene afmeting zijn. Op dezelfde wijzekan men
E 2 met