Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

68 G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCIIOUWING DER LEMNISCATEN.
(X2 - y2) 2 -= r2y2 _(4a2- r2) 2,
welke vergelijking, bij verwisseling der co&rdinaten x en y, behoort tot
eeno lemniscata der cerste order, welke is de zoogenaamde voetpuntenkromme der gewone hyperbola (vergelijk ~1, B, 2~. aequatie (25)), hebbende r en /(4a2 —r2) tot halve ware en onbestaanbare assen. De as
der lemniscata zal dus = 2r wezen, en de tangenten, gaande door den
knoop 0, zullen met de as een hoek maken > 45~, zoo lang de cirkels A
en A' elkander niet sniden, of ook, bijaldien zij elkander sngden, zoo lang
al2 >- r2 is.
2~. Wordt 4a2 2,r2, of a2 _ r2, zoo gaat de lemniscata over
in eene bernouilliaansche, hebbende 2r tot as en de middelpunten A en A'
der beide cirkelo tot brandpunten. Deze beide cirkels moeten elkander, in
dit geval, zoodanig snijden (fig. 3), dat do lengle der gemeenschappelijke
koordo BB' juist gelijk zij aan don afstand der middelpunten A en A';
want alsdan is OB -=OB' - OA OA' = a en dus 2.0A2 a- AB2, of
2a2 r2 (7).
Indien AB, A'B', BB' een zamenstel van stangen ware, om, uit eeno
afwisselend cirkelvormige of draaijende beweging, cene afwissenend op- en
neêrgaando of heen en weorgaande beweging af te leiden, of omgekeerd,
zou de regtlijnige beweging gerigt moeten wezen langs de lijn CG', deelende den regten hoek AOB midden door. Om goede redenen heeft men
bij
(7) Ilieruit volgt derhalve eene constructie, zoowel der bernouilliaansche lemniscata, als
van die, welker punten zijn de projectaën van het centrum' eener ongelijkzijdige hyperbola
op hare raaklijnen. Voor de uitvoering is zij geenszins de doelmatigste, doch zij is merkwaardig, als verkregen wordende door eene onafgebrokene beweging, en onafhankelijk van
de voorafgaande constructie eener hyperbola. In dezen zin is over de constructie dier beide
lemniscaten reeds gehandeld, in het drchiv der lffathematik und Physik, herausgegeeen von J. A. GRUNERT, Professor zu Greifswald, Theil III, Seile 400, en Theil
FIII, Seite 50.