Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

66 G. J. VERDANM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOUWING DER LEMNISCATEN.
uit deze vijf vergelijkingen. Op het eenvoudigst geraakt men daartoe op
deze wijze: neem het verschil van (a) en (~); subslilueer daarin de waarden van (, 1- 2), (i- -2), (Y-t- 2), afgeleiid uit (y), (), (E), zoo
komt men tot:
x{b2- (y1-2)2)} y 2{2a-(y-{-y2)}2..... (-)
Neem de som van (y) en &i der tweede magten van (c) en (s); trek er
van af de som van (a) en (f/); los uit dit verschil (y,-y2) op, en substitueer de waarde in (ç), waardoor men verkrijgen zal:
2 {16 a2b2 [b2+4 (a2- 2) 4 (2 y2)]2
2 y2 {8 a2 -[b 4(a2-r2) + 4(+2 +y2)]}. 2 (53)
Deze is de vergelijking der lemniscata, zinde eene lijn van den zesden
graad, of eene lemniscata van de tweede orde. Men kan deze vergelijking
ook brengen tot den vorm:
{(I%72 ) + y2 [,4(a2_r2) +4( (2+y2)]-8s a2y2" =
16 a-2x2 {b22 -(4 a2-b2)y2,... (54)
welke meer overeenkomt met den vorm der vergelijkingen van de lemniscaten der eerste orde. Stelt men O als pool, en de polaire coordinaten
p en cp, en verder tot bekorting
A==b2 t,4(a2-r2),
zoo is de ontwikkelde pool-aequatie
16 p4k+ {8A-64a2 ain.2pç p2 16 a2b2-A2-64 a2r2sin.2 cp. (55)
Wanneer men n de vergelijking (54) s standvastig aanneemt, zal
de ontwikkelde aequatie zijn eene derde-magts-vorgelijking van den zesde-magts-vorm; twee der wortels zullon onbestaanbaar wezen, en de
bestaanbare wortel y2 zal twee gelijke maar tegenovergestelde waarden
van y doen bekend worden; bovendien wordt y=O voor x=O en
v ~ t/{r2a-(a — b)2}, en tusschen deze grenswaarden van x is y
steeds bestaanbaar, maar onbestaanbaar voorbij dezelve; en hieruit hkan met
ground