Verhandeling over de lemniscaten. Door G. J. Verdam.

58 G. J. VERDAM, BIJDRAGE TOT DE BESCHOU'WING DER LEMNISCATEN.
wanneer het tweede lid, zoowel als het eerste, eene volledige twede magt
is. Men zou ook kunnen zeggcn, dat de lemniscatische gedaante meer en
meer nabij de cirkelvormige komt, naar gelang de hoek, tusschen de as
en de centrale raaklijnen, meer en meer tot een' regten hock nadert; of
wel, twee even groove, elkander uitwendig rakende cirkels kunnen aangemerkt worden te zijn de strikken eener lemniscata, welker centrale raaklijnen loodregt staan op de ware as der kromme, en derhalve in of langs
elkander vallen.
Men zou deze beschouwingen kunnen uitstrekken, hetzij om andere
vormen van lemniscaten, hetzg om lemniscaten van hoogere orde te zieu
voortkomen, door aan te nemen, 6f, dat de besclirijvende kromme lijn gcen
cirkel is, maar eene ellips, eene lemniscata of eene andere geslotene kromme
lijn; - of, dat de beschrijvende krormme geene standvastige afmetingen
heeft, b. v. een cirkel met afnemenden radius, zoodat de ring, aan de
eene zijde van het centrum, eene grootste, en, aan de tegenoverstaande
zijde, eene kleinste dikte hebbe, enz. enz.
De voetring is een omwentelingsligchaam; de beschrjvende kromme
is een cirkel, en de rigtlijn mode een cirkel, in evclks omtrek het rniddelpunt der beschrivende kromme steeds moet verblijven, terwjl het vlak
der beschrijvende kroinme voortdurend normaal tot de kromlijnige rigtlijn
is. Maar de rigtlijn kan ook elliptisch wezen, of scene andere geslotene
kromlijnige gedaante hebben, terwijl de beschrijvende lijn, cirkelvormig,
elliptisch, enz. enz. kan zijn, zoodat de snijdende raakvlakken van deze
anders gefigureerde ringen lemniscaten van zeer verschillend beloop zullen
opleveren. Eveneens moet men lemniscatische snidingen verkrijgen, wanneer de ring niet gesloten maar open is, gelijk een goot- of kanaal-oppervlak, waarbi alzoo de rigtlijn wederom geheel willekeurig kan zijn. Zelfs
kan, in een algemeenen zin, de beschrijvende lijn ook open wezen; ware
in dit geval de rigtlijn gesloten, en b. v. een cirkel qf eene ellips, maar
de beschrijvende lijn eene hyperbola, dan zou de ringvormige oppervlakte
eigenlijk eeno eenvlakkigc hyperboloïde zijn, en de lemniscatische sectie zou
uit